-三角函数的积化和差与和差化积43

3.3.3三角函数的积化和差与和差化积平罗中学石占军sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(cos)coscossinsin(cos)coscossinsin(考察公式：(1)(2)(3)(4)一、公式推证将(1)、(2)两个式子相加减得到1coscos[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]2将(3)、(4)两个式子相加减得到1sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]2从上面四个式子又可以得到sin()sin()2sincossin()sin()2cossincos()cos()2coscoscos()cos()2sinsin积化和差公式1coscos[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]21sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]2设,xy则,2xy2xy这样sin()sin()2sincos可以写成sinsin2sincos22xyxyxy同样可以得到其余三个式子sinsin2sincos22xyxyxysinsin2cossin22xyxyxycoscos2coscos22xyxyxycoscos2sinsin22xyxyxy和差化积公式例1把下列各积化成和差的形式。（1）（2）（3）（4）2sin64cos10sin84cos132coscos66sin2sin1.2解：（1）2sin64cos10sin74sin54二、应用举例（2）sin84cos132cos132sin84（3）coscos661(coscos0)231(sin226sin48)234（4）sin2sin1.21(cos3.2cos0.8)2例2.把下列各式化为积的形式.（1）（2）（3）（4）cos3cos解：（1）cos3cos332coscos222cos2coscos40cos52sin54sin22sin5sin3xx（2）cos40cos52405240522sinsin222sin46sin6（3）sin54sin22542254222sincos222sin38cos16（4）sin5sin3xx2cos4sinxx53532cossin22xxxx例3.已知A+B+C=180°,求证：sinsinsinABC4coscoscos222ABC证明：因为A+B+C=180°,所以C=180°－(A+B),9022CABsinA+sinB+sinC2sincossin()22ABABAB2sincos2sincos2222ABABABAB2sin(coscos)222ABABAB2sin2coscos222ABAB2cos2coscos222CAB4coscoscos222ABC1．求sin20·cos70°+sin10°·sin50°的值；三、课堂练习2．求cos37.5°·cos22.5°的值.解：1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°2．cos37.5°·cos22.5°解：原式=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=sin54°-sin18°=2cos36°sin18°3、求sin42°-cos12°+sin54°的值．4.解：另：四、小结和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公式化成积的形式．无论是和差化积还是积化和差中的“和差”与“积”，都是指得三角函数间的关系，并不是角的关系，这是必须十分清楚的．三角函数的和差化积所要求的最后结果，只要是三角函数的积的形式就可以了，不求形式上的一致．作业：1．求cos20°+cos100°+cos140°．2．△ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC．证明：∵A、B、C为△ABC的三内角．∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)．∴原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1=4cos(A+B)cosAcosC-1=-1-4cosAcosBcosC．3.求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值．分析：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次处理．若又注意到本题的结构，以下解法也是可以考虑的．原式=(sin20°+sin40°)2-sin20°·cos50°=[2sin30°cos10°]2-sin20°·cos50°当然，也可以这样配方原式=(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°例题2求ctg70°+4cos70°的值．分析：由于本题余切函数与余弦函数共存，∴首先应化切为弦，接着自然是要做通分，最后再考虑分子的化简，由于分子的三角函数的系数不同，一拆为二就是必然的了．习题课上，教师主要讲以上二例，虽为例解，但应注意调动学生积极思考，注意学生提出的问题以及学生提出的处理方法，若方向对头应予以肯定，若方法不当也应帮助分析原因．以下几个练习主要由学生完成，练习题预先写在幻灯片上，适时安排学生板演，习题课的形式是讲讲、议议、练练．(四)练习题3．tg10°+sec50°课堂练习题分析及解法：2．类似本题的条件，有两条路可供选择，其一是将两式两边分别平方后再相加，但这样处理所能得到的是cos(α-β)的值，但采用这样的办法于事无补．另一条路是把两个某式左边的三角函数分别作和差化积可得到如下关系：3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算太大了．若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角，利用诱导公式可得如下解法．(四)小结三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体会的．一般说三角变换问题，首先要关注问题中的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也可以把α看作是