《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】3.2.

3.2.53.2.5距离(选学)【学习要求】掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离．【学法指导】空间距离是学习的难点，用向量求距离是一种有效的方法，回避了作图，再次显现向量的威力.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5填一填·知识要点、记下疑难点1．图形与图形的距离一个图形内的____________与另一图形内的__________的距离中的__________，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离一点到它在一个平面内__________的距离，叫做点到这个平面的距离．3．直线与它的平行平面的距离一条直线上的__________到与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离．任一点任一点最小值正射影任一点本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5填一填·知识要点、记下疑难点4．两个平行平面的距离（1）和两个平行平面同时________的直线，叫做两个平面的公垂线．（2）__________夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．（3）两平行平面的____________________，叫做两平行平面的距离．5．四种距离的关系垂直公垂线公垂线段的长度本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效探究点一两点间的距离问题1怎样理解两个图形之间的距离？答案两个图形之间的距离是指一个图形内的任一点与另一图形内的任一点距离中的最小值．问题2几何度量中最基本的距离是什么？答案两点之间的距离是几何度量中最基本的距离，计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效问题3怎样利用向量求两点间的距离？答案利用基向量或坐标表示向量后，两点间的距离就转化为向量的模，可以利用向量的数量积进行计算．设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝a21＋a22＋a23，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝|AB→|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效例1如图,平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA′的长为b，且∠A′AB＝∠A′AD＝120°.求：AC′的长．解∵AC′→＝AB→＋AD→＋AA′→，∴|AC′→|2＝(AB→＋AD→＋AA′→)2＝AB→2＋AD→2＋AA′→2＋2(AB→·AD→＋AB→·AA′→＋AD→·AA′→)＝a2＋a2＋b2＋2(0－12ab－12ab)＝2a2＋b2－2ab∴|AC′→|＝2a2＋b2－2ab.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效小结计算两点间的距离的基本方法：(1)把线段用向量表示，然后利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|.(2)求解的图形适宜建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离)．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3.沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求B、D间的距离．解过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，则由已知条件可知AC＝5，∴DE＝3×45＝125，BF＝3×45＝125.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效∵AE＝AD2AC＝95＝CF，∴EF＝5－2×95＝75，∵DB→＝DE→＋EF→＋FB→.∴|DB→|2＝(DE→＋EF→＋FB→)2＝DE→2＋EF→2＋FB→2＋2DE→·EF→＋2DE→·FB→＋2EF→·FB→.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效∵面ADC⊥面ABC，DE⊥AC，∴DE⊥面ABC，∴DE⊥BF，即DE→⊥FB→，∴|DB→|2＝DE→2＋EF→2＋FB→2＝14425＋4925＋14425＝33725，∴|DB→|＝3375.故B、D间的距离是3375.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效探究点二点到平面的距离问题1什么叫点到平面的距离？答案一点到它在一个平面内正射影的距离叫做点到这个平面的距离．如图，PA⊥α垂足为A，PB和α交于点B，易知PAPB.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效问题2怎样利用向量求点到平面的距离？答案如图所示，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.若n0是平面α的单位向量，则d＝|AB→·n0|.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效例2如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求点C到平面AEC1F的距离．解建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y,1)．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效由n1·AE→＝0n1·EC1→＝0，得0·x＋4·y＋1＝0，－2·x＋0·y＋2＝0，即4y＋1＝0，－2x＋2＝0，∴x＝1，y＝－14.即n1＝1，－14，1.又CC1→＝(0,0,3)．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效设CC1→与n1的夹角为α，则cosα＝CC1→·n1|CC1→||n1|＝33×1＋116＋1＝43333.∴C到平面AEC1F的距离为d＝|CC1→|cosα＝3×43333＝43311.小结利用向量求点到平面的距离就是求从该点出发的平面任一条斜线段对应的向量在平面的法向量的投影的绝对值．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，若PA＝AD＝3，CD＝6.求点F到平面PCE的距离．解如图建立空间直角坐标系A—xyz.A(0,0,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)，E62，0，0，F0，32，32，C6，3，0.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，EP→＝－62，0，3，EC→＝62，3，0.n·EP→＝0，n·EC→＝0，即－62x＋3z＝0，62x＋3y＝0.取y＝－1，得n＝(6，－1,1)，又PF→＝0，32，－32，故点F到平面PCE的距离为d＝|PF→·n||n|＝－32－3222＝324.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效探究点三线面和面面距离例3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.(1)求证：AC1⊥平面A1BC；(2)求CC1到平面A1AB的距离．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效(1)证明如图所示，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，AC1→＝(0,3，t)，BA1→＝(－2，－1，t)，CB→＝(2,0,0)，由AC1→·CB→＝0，知AC1⊥CB，又BA1⊥AC1，且CB∩BA1＝B，从而AC1⊥平面A1BC.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效(2)解由AC1→·BA1→＝－3＋t2＝0，得t＝3.设平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，AA1→＝(0,1，3)，AB→＝(2,2,0)，所以n·AA1→＝y＋3z＝0n·AB→＝2x＋2y＝0，设z＝1，则n＝(3，－3，1)．所以点C1到平面A1AB的距离d＝|AC1→·n||n|＝2217.又∵CC1∥平面A1AB.∴CC1到平面A1AB的距离为2217.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效小结直线到平面的距离、平面到平面的距离常转化为点到平面的距离，利用向量来求．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E、F分别为AB、BC的中点．求直线AC到平面PEF的距离．解建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E1，12，0，F12，1，0.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5研一研·问题探究、课堂更高效∵AC∥EF，AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，∴AC∥平面PEF.∴AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离．又AE→＝0，12，0，平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)，则点A到平面PEF的距离为d＝|AE→·n||n|＝0，12，0·2，2，317＝1717.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5练一练·当堂检测、目标达成落实处1．正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为()A.2B．2C.22D.322A解析由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是A1点到平面的距离．连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1即为所求．由题意可得A1O1＝12A1C1＝2.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5练一练·当堂检测、目标达成落实处2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为()A．10B．3C.83D.103D本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5练一练·当堂检测、目标达成落实处3．若O为坐标原点，OA→＝(1,1，－2)，OB→＝(3,2,8)，OC→＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A.1652B．214C.53D.532解析由题意得OP→＝12(OA→＋OB→)＝(2，32，3)，PC→＝OC→－OP→＝(－2，－12，－3)，PC＝|PC→|＝4＋14＋9＝532.D本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5练一练·当堂检测、目标达成落实处4．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1.若二面角C—AB—C1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为________．答案34本专题栏目开关填一填研一研练一练3.2.5练一练·当堂检测、目标达成落实处1．两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得．2．点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得，线面距、面面距可转化为点面距计算.本专题栏目开关填一填研一研练一练