22.1一元二次方程的认识及解法(1).讲义学生版

page1of12一、一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．⑴要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．⑵任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20axbxc0a．要特别注意对于关于x的方程20axbxc，当0a时，方程是一元二次方程；当0a且0b时，方程是一元一次方程．⑶关于x的一元二次方程式20axbxc0a的项与各项的系数．2ax为二次项，其系数为a；bx为一次项，其系数为b；c为常数项．二、一元二次方程的解法１．一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：适用于解形如2()(0)xabb的一元二次方程．⑵配方法：解形如20(0)axbxca的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①二次项系数化1．②常数项右移．③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）．④化成2()xmn的形式．⑤若0n，选用直接开平方法得出方程的解．⑶公式法：设一元二次方程为200axbxca，其根的判别式为：24bac，12,xx是方程的两根，则：⑴0方程200axbxca有两个不相等的实数根21,242bbacxa．⑵0方程200axbxca有两个相等的实数根122bxxa．⑶0方程200axbxca没有实数根．若a、b、c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时24bbac是2a的整数倍，则方程的根为整数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把方程化为一般形式②确定a、b、c的值．知识点睛22.1一元二次方程的认识及解法（1）page2of12③计算24bac的值．④若240bac，则代入公式求方程的根．⑤若240bac，则方程无解．⑷因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．⑴因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．⑵公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24bac的值．⑶直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2axb或20xabb≥或2axb2cxd的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．⑷配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20axbxc（a、b、c为常数，0a）转化为它的简单形式2AxB，这种转化方法就是配方，具体方法为：2axbxc22222244424bbbbacbaxxcaxaaaaa．所以方程20axbxc（a、b、c为常数，0a）就转化为22424bacbaxaa的形式，即222424bbacxaa，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．三、可化为一元二次方程的特殊方程解方程的基本思想：化分式方程为整式方程化高次方程为一次或二次方程化多元为一元化无理方程为有理方程总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程．解方程的基本方法：解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法．解分式方程：一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法．解无理方程：一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法．一、一元二次方程的定义【例1】m为何值时，关于x的方程2(2)(3)4mmxmxm是一元二次方程．例题精讲page3of12【例2】若2310ababxx是关于x的一元二次方程，求a、b的值．【巩固】已知方程20ababxxab是关于x的一元二次方程，求a、b的值．【例3】已知关于x的方程22(2)1axaxx是一元二次方程，求a的取值范围．【巩固】已知关于x的方程22()(2)xaax是一元二次方程，求a的取值范围．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法【例4】解关于x的方程：251250x【巩固】解关于x的方程：22(31)85xpage4of12【例5】解关于x的方程：222332xx【巩固】解关于x的方程：22425931xx2．配方法【例6】用配方法解方程：2640xx【巩固】用配方法解方程：22310xx【巩固】用配方法解方程:2420xx【例7】用配方法解方程：211063xxpage5of12【例8】用配方法解方程：23123yy【例9】用配方法解关于x的方程20xpxq（pq，为已知常数）【巩固】用配方法解方程：20axbxc（a、b、c为常数且0a）3．公式法【例10】解方程210xx【巩固】用公式法解方程：25720xxpage6of12【巩固】用公式法解方程：22310xx【例11】用公式法解方程：2362xx【巩固】用公式法解方程：2323pp【例12】解方程235(21)0xx【例13】解方程：(5)(7)1xxpage7of12【巩固】解方程：1(61)432(2)2xxxx4．因式分解法【例14】用因式分解法解方程：281030xx【巩固】解方程23440xx【例15】用因式分解法解方程：23430xxx【巩固】解方程：23(5)2(5)xxpage8of12【例16】因式分解法解方程：2633226xxx【巩固】解方程：2(23)2(31)60xx．【例17】解关于x的方程22220xmxmn【巩固】用因式分解法解方程：222320xmxmmnn（m、n为常数）【巩固】解关于x的方程：2220xpqxpqpqpqpage9of12【例18】解方程：23(32)(31)323yyyyy5．换元法【例19】解方程2(5)(5)4xx1.若一元二次方程222(2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则m的值为_________．2.已知方程2240abxxx是关于x的一元二次方程，求a、b的值．3.解方程：22(34)(23)xx4.解关于x的方程：224(2)(31)0xx课后作业page10of125.解关于x的方程：2269(52)xxx6.解关于x的方程：23(1)27x7.用配方法解方程:22810xx8.用配方法解方程：2420xx9.用配方法解方程：2250xxpage11of1210.用配方法解方程：2510yy11.用配方法解方程：2243yy12.用配方法解方程2420xx13.用公式法解方程：2952nn14.解方程：23220xx15.解方程225603xx．page12of1216.解方程2670xx17.解方程3(5)14(5)xxx18.解方程：2(42)(21)xxx19.解方程：2(21)36xx