第03章习题解答

1习题3参考解答3.1设在一线性系统上加一个正弦输入：(,)cos[2π()]gxyxy，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。解：系统的输入是i2π()i2π()11(,)cos[2π()]ee22xyxygxyxy因为要求输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数，可用(,)gxy表示它，i(,)i2π()i(,)i2π()(,)(,)cos[2()(,)]11(,)ee(,)ee22xyxygxyAxyAA式中：(,)A和(,)均为实函数，分别表示正弦输出频率有关的振幅和相移。令：i(,)(,)(,)eHA则有：i2π()*i2π()11(,)(,)e(,)e22xyxygxyHH。用算符{}L表示系统的作用，即：{(,)}(,)Lgxygxy，则系统输入、输出的正频分量应满足下列关系：i2π()i2π(){e}(,)exyxyLH即：2π()i2π()(,;,)edd(,)exyhxyHi式中，h为系统的脉冲响应。等两端同乘以i2π()exy并对,取积分，等式左端得到：i2π()i2π()i2π[()()](,;,)eddedd(,;,)ddedd(,;,)(,)dd(,;,)xyxyhxyhxyhxyxyhxyxy等式右端得到：i2π()i2π()i2π[()()](,)eedd(,)edd(,)xyxyxxyHHhxxyy由此可知，系统应该是空间不变的线性系统，其空间不变的脉冲响应满足：2(,;,)(,)hxyxyhxxyy(,)H正是系统的传递函数，它是脉冲响应的傅里叶变换，(,){(,)}HFhxxyy对于这样的空间不变的线性系统，若输入一个正弦函数，会得到一个空间频率相同的正弦输出，其振幅和相移分别由系统传递函数的模和幅角表示，即(,)(,)cos[2π()(,)]gxyAxy3.2证明零阶贝塞尔函数00J(2π)r是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本征值是什么？证明：把00J(2π)r作为输入函数，施加到一个用脉冲响应()hr和传递函数()H所表征的系系统上。输出可以写成：0()()*()grHhr因此，输出频谱等于00000()()()()()2π2πGHH对上式作傅里叶逆变换，可得：000()()J(2π)grHr于是可以看出，00J(2π)r是一个本征函数，相应的本征值等于传递函数在0的值。3.3傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章所提出的关于系统的定义。试问：(a)这个系统是线性的吗？(b)你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？答：(a)我们把系统广义地定义为一个变换，由于傅里叶变换算符可以看成是函数到其变换式的变换，因而可把它看作系统。即可以用系统的算符表示傅里叶变换：{(,)}{(,)}LgxyFgxy3由傅里叶变换的线性定理可得：{(,)(,)}{(,)}{(,)}FgxyhxyFgxyFhxy即：{(,)(,)}{(,)}{(,)}LgxyhxyLgxyLhxy对所有的输入函数(,)gxy和(,)hxy以及所有复数常数,，系统满足上述迭加性质，因而是线性的。(b)设系统的输入为(,)gxy，输出为(,)G。由傅里叶变换定义i2π()(,)(,)eddxyGgxyxy若写成线性系统叠加积分的形式，则有：(,)(,)(,;,)ddGgxyhxyxy其中i2π()(,;,)exyhxy，它表示输出平面点上对输入平面位于(,)xy点处函数输入的响应，称为系统的脉冲响应。显然(,;,)(;)hxyhxy即脉冲响应h并不依赖于距离之差x和y，系统是“空间变”的。仅仅对于空间不变的线性系统，其在频域的作用才可以用系统的传递函数表示。而对于“空间变”系统，则不能给出表征系统作用的传统函数。3.4某一成像系统的输入是复数值的物场分布(,)oUxy，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场分布(,)iUxy。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间||xB，||yB之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体(,)oUxy，它与真实物体oU产生完全一样的像iU，并且等效物体上的场分布可写成：(,)(,)sinc(2)sinc(2)dd,22ooXYnmXYnmUxyUnBmBxyBB证明：为了便于从频率域分析，分别设：物的空间频谱：(,){(,)}ooAFUxy4像的空间频谱：(,){(,)}iiAFUxy等效物体的空间频谱：(,){(,)}ooAFUxy等效物体的像的空间频谱：(,){(,)}iiAFUxy由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在||,||XYBB之外恒为零，故可将其记为：(,)rectrect22XYHBB利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为(,)(,)rectrect(,)22oiXYAHABB在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频谱函数，预期作为等效物的谱，办法是把(,)rectrect22oXYABB安置在平面上成矩形格点分布的每一个(2,2)XYBnBm点周围，选择矩形格点在,方向上的间隔分别为2XB和2YB，以避免频谱混叠。于是：(,)(,)rectrect*(2,2)221(,)rectrect*combcomb22422ooXYnmXYoXYXYXYAABnBmBBABBBBBB对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许(,)oA的中央一个周期成份(0)nm通过，所以成像的谱并不发生变化，即(,)(,)rectrect(,)(,)22oiiXYAHAABB下图用一维形式表示出系统在频域分别对oA和oA的作用，为简单起见，系统传递函数在图中表示为rect2XB。5既然成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即(,)(,)iiUxyUxy因此，只要求出(,)oA的逆傅里叶变换式，就可得到所需的等效物场，即1(,){(,)}ooUxyFA这样，应用卷积定理得到：1111(,)(,)rectrectcombcomb22422(,)rectrectcomb2comb222ooXYXYXYoXYXYUxyFAFBBBBBBFABxByBB从抽样定理来理解上式，(,)rectrect22oXYABB是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔，在x方向是12XB，在y方向是12YB，就得到等效物场(,)oUxy61(,)rectrect(,)*4sinc(2)sinc(2)224(,)sinc[2()]sinc[2()]ooXYXYXYXYoXYFAUxyBBBxByBBBBUBxBydd1comb(2)comb(2),422XYnmXYXYnmBxByxyBBBB这样，可以得到：(,)(,)sinc[2()]sinc[2()]dd,22ooXYnmXYnmUxyUBxByxyBB利用函数性质，上式可写为0(,)(,)sinc(2)sinc(2)dd,22oXYnmXYnmUxyUnBmBxyBB由这一点源的方形阵列构成的等效场可以和真实物体oU产生完全一样的像iU。利用系统的传递函数，从频率域分析物像关系，先找出等效特的频谱，再通常傅里叶变换，求出等效特的空间分布。这种频域分析方法正是傅里叶光学问题的基本分析方法。3.5定义：1(,)dd(0,0)xyfxyxyf,1(,)dd(0,0)FF分别为原函数(,)fxy及其频谱函数(,)F的“等效面积”和“等效带宽”，试证明：1xy上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。证明：由傅里变换及逆变换定义：i2π()(,)(,)eddxyFfxyxy，i2π()(,)(,)eddxyfxyF把0和0xy代入上式，得到：(0,0)(,)ddFfxyxy，(0,0)(,)ddfF于是：7(,)dd(,)dd(0,0)(0,0)1(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)xyfxyxyFFffFfF上式说明函数的“等效面积”与“等效带宽”成反比，当函数的“等效面积”增大时，其“等效带宽”却相应减小。3.6已知线性不变系统的输入为：()comb()fxx。系统的传递函数为rect(/)b。当1b和3b时，求系统的输出()gx，并画出函数及其频谱。解：对于线性不变系统，输入频谱、输出频谱和传递函数满足如下关系：()()()GFH即输出频谱等于输入频谱与传递函数的乘积。由题意可知：()rect(/)Hb。由输入函数可得：(){comb()}comb()FFx所以有：()()()comb()rect(/)GFHb(1)当1b时，()()G。这样可求得：1(){()}1gxF其输出函数及输出频谱如下图所示。(2)当3b时，()()(1)(1)G。这样可求得：1i2πi2π(){()}1ee1cos(2π)xxgxFGx输出函数及输出频谱如下图所示。83.7对一个线性不变系统，脉冲响应为：()7sinc(7)hxx用频率域方法对下列的每一个输入()ifx，求其输出()igx(必要时，可取合理近似)：(1)1()cos4πfxx(2)2()cos(4π)rect(/75)fxxx(3)3()[1cos(8π)]rect(/75)fxxx(4)4()comb()*rect(2)fxxx解：系统传递函数为：(){()}{7sinc(7)}rect(/7)HFhxFx并假设令输入()ifx和输出()igx对应的频谱分别为()iF和()i