时间序列分解法

什么是时间序列分解法时间序列分解法是数年来一直非常有用的方法,这种方法包括谱分析、时间序列分析和傅立叶级数分析等。时间序列分解模型时间序列y可以表示为以上四个因素的函数，即：Yt=f(Tt,St,Ct,It)时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型和乘法模型。加法模型为：Yt=Tt+St+Ct+It乘法模型为：时间序列的分解方法（1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化，得到序列TC。然后再用按月（季）平均法求出季节指数S。（2）做散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长期趋势，得到长期趋势T。（3）计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到周期变动因素C。（4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的即为不规则变动，即：时间序列的模式时间序列一般包括四类因素，长期趋势因素、季节变动因素、循环变动因素和不规则变动因素。四种因素的组合形式一般有以下几类,其中记Xt为时间序列的全变动；Tt为长期趋势；St为季节变动；Ct为循环变动；It为不规则变动，它总是存在着的。1）乘法模式，其中，a)Xt与Tt有相同的量纲，St为季节指数，Ct为循环指数，两者皆为比例数；b)c)It是独立随机变量序列，服从正态分布。2）加法模式Xt=Tt+St+Ct+It这种形式要求满足条件：a)Xt，Tt，St，Ct，It均有相同的量纲；b),k为季节性周期长度；c)It是独立随机变量序列，服从正态分布。3)混合模式a)Xt与Tt，Ct，It有相同的量纲，St是季节指数，为比例数；b)c)It是独立随机变量序列，服从正态分布。时间序列分解法试图从时间序列中区分出这四种潜在的因素，特别是长期趋势因素(T)、季节变动因素(S)和循环变动因素(C)。显然，并非每一个预测对象中都存在着T、S、C这三种趋势，可能是其中的一种或两种。一个具体的时间序列究竟由哪几类变动组合，采取哪种组合形式，应根据所掌握的资料、时间序列及研究目的来确定。时间序列分解法各因素的确定分解法的基础是容易理解而且直观的。不过最重要的是它为预测和检验提供了独特和非常有用的资料。我们用一个例题来说明各个因素分解的步骤。设有某产品十二年（91年－02年）的季度销售额数据。见表4.3中的第二列，共有48个数据。如果将这些数据画在图上（图.1），可以看出有明显的长期趋势和季节变动。利用分解法，假设这48个数据可表示为。这里Xt是这些原始数据，通过分析原始数据X来确定T、C、S（剩下的为I）。1．移动平均数把最初的四个数据（表示91年4个季度的值）相加求平均值得到(X1+X2+X3+X4)/4=2741.334。这个数是没有季节性的，而且随机性因素也很小甚至没有。因为随机性围绕中间值波动，将四个数相加，正负波动在一定程度上相互抵消了，所以可认为其中已无随机性。同样将第二个至第五个数据相加平均，也不包含季节性，而且其随机性因素也很小。如此我们可得到45个数据。它们不包含季节性，而且随机性因素很小甚至没有。也就是说它们只包括长期趋势和循环变动两部分（T×C）。这45个数据组成的序列我们称之为移动平均数序列，用MA来表示，MA＝T×C。2．季节性由于（1）因此将观察值除以移动平均数得到的比率值就只包含季节性和随机性，从而这些比率包括了确定季节性因素所需要的信息。如果某个比率的值100，意味着实际值X比移动平均数（T×C）要大。由于X中包含季节性和随机性，因而当比率值大于100时，就意味着这个季度的季节性和随机性高于平均数。反之，如果比率小于100，则表示季节性和随机性低于平均数。表.2某产品48个季度的销售数据及数据分解季度观察值Xt移动平均值T×CS×I比率％长期趋势T循环变动C％13017.60————2774.81——23043.54————2813.77——32094.352741.33476.3392852.7396.1042809.842805.632100.1502891.6997.0253274.802835.569115.4902930.6596.7663163.282840.558111.3612969.6195.6572114.312894.24073.0523008.5796.2083024.572907.411104.0303047.5395.4093327.482989.961111.2883086.4996.87103493.483071.367113.7443125.4598.27113439.933187.92176.5373164.41100.74123490.793277.322106.5143203.37102.31133685.083319.258111.0213242.33102.37143661.233303.883110.8163281.29100.69152378.433296.07372.1593320.2599.27163459.553337.209103.6663359.2199.34173849.633347.198115.0103398.1798.50183701.183413.185108.4383437.1399.30192642.383444.67876.7063476.0999.10203585.523501.936102.3873515.0599.63214078.663553.405114.7823554.0199.98223907.063597.425108.6073592.97100.12232818.463723.42175.6953631.93102.52244089.503788.657107.9413670.89103.21254339.613849.043112.7453709.85103.75264148.603874.540107.1013748.81103.35272976.453872.32575.3153787.77102.23284084.643848.029106.1493826.73100.56294242.423810.274111.3423865.6998.57303997.583801.414105.1603904.6597.36312881.013789.31176.0303943.6196.09324036.233818.788105.6943982.5795.89334360.333909.526111.5314021.5397.21344360.533982.320109.4974060.4998.07353172.184029.20378.7304099.4598.29364223.764111.740102.7244138.4199.36374690.484195.228111.8054177.37100.43384694.484237.770110.7774216.33100.51393342.354326.23777.2584255.29101.67404577.634394.982104.1564294.25102.35414965.464477.872110.8894333.21103.34425026.054509.818111.4474372.17103.15433470.144496.89577.1674411.13101.94444525.944570.21099.0314450.09102.70455258.714611.094114.0454489.05102.72465489.584642.750111.7784528.01102.53473596.764481.66780.2554566.9798.13483881.60————4605.93——由式（1）可知，如果能将S×I中的随机性部分去掉，则就得到了季节性指数。要做到这一点，只需注意到随机性指的是偶然性、没有一定模式、围绕中间值0上下波动。因此通过平均就能去掉随机性的影响。将表4.3中“S×I比率”这一栏列成表4.6的形式，将各年同一季度的数据放在同一列之中，求相同各季度的平均值，得第一至第四季度的平均数分别为112.72，109.88，76.28，103.86。由于从1991年至2002年各年中相同季度的数值加以平均消除了大部分随机性，因此这四个平均数仅仅代表了季节性。用代数式表示即为(2)其中中上面的横线表示季节平均。表3产品销售额的季节性指数年份各季度季节指数第一季度第二季度第三季度第四季度1991——76.40100.151992115.49111.3673.05104.031993111.29113.7476.54106.511994111.02110.8272.16103.671995115.01108.4476.71102.391996114.78108.6175.70107.941997112.75107.1075.32106.151998111.34105.1676.03105.691999111.53109.5078.73102.722000111.81110.7877.26104.162001110.89111.4577.1799.032002111.84111.7880.26—平均数112.72109.8876.28103.86修正平均数111.95109.1375.76103.16表3中的四个平均值相加的和为402.74，它不等于400。为了使各季节指数的平均数等于100，必须进行简单的调整。如果400被合计数402.74来除，结果是0.9932。以0.9932乘以各季节的平均数得到111.95，109.13，75.76，103.16等（见表中最后一行）。现在这四个季节指数的和为400，它们的含义就更加清楚了，例如第二季度的109.13就表示第二季度比全年平均数高出9.13％，第三季度的75.76表示第三季度比全年低24.24％。3．长期趋势和循环变动前面介绍的公式MA=T×C表示了一组循环变动—长期趋势数值。在多数情况下这样已能满足要求，但有时仍需要把循环变动和长期趋势分离开来。为了做到这一点，我们只需确定一种能最好的描述数据长期趋势的类型。例如长期趋势可以是线性的、二次的、S曲线或其它。对于本例，如果将数据在图上画出来，可以看出线性的长期趋势是比较合适的：Tt=a+bt（.3）t=1,2,3…48。用最小二乘法可求得模型的最佳拟合参数为：a=2735.85,b=38.96因此趋势直线方程为T_t=2735.85+38.96t如图4所示。用此方程即可求得每个季度的趋势值。如第20季度（2000年的第四季度）趋势值为T_{20}=a+bt=3515.05由于MA=T×C，因此MA/T=(T\timesC)/T=C(4)应用上式即可求得循环变动值C。如第45季度的循环变动值C_{45}等于表3中的移动平均数除以T_{45}，即如同季节指数，循环指数也采取百分比率。其值大于100的表明该季度经济活动水平高于所有季度的平均值，而小于100的循环指数所表明的情况则刚好相反。循环因子比较复杂，且其变动周期较长，因而在短期预测中可以忽略不计，或将其归入到趋势变化之中（称为趋势—循环因子）。人们更关心的是趋势和季节的识别。至此我们完成了对原始数据Xt的分解工作，其步骤总结如下：1）用MA=T×C分析长期趋势和循环变动；2）用分析季节性和随机性；3）用分析季节性；4）用趋势外推法中介绍的方法来分析长期趋势；5）用MA/T=C分析循环变动。总之，分解法提供了分析时间序列各种因素的手段，它使用简单，只需用加法、乘法和除法等简单代数运算即可，而且分解法非常直观，能给企业提供一定时期内的大量信息。根据时间序列分解法进行预测用分解法确定了季节指数、趋势值和循环指数之后，就可以根据上面总结的步骤进行预测了。我们对2003年第一季度（第49季度）进行预测。数据的基本关系式为X=T×C×S×I由于随机性无法直接进行预测，进行预测的关系式为：X=T×C×S于是，计算出第49季度的T49,C49,S4