位移法

1.熟练掌握位移法基本未知量的确定和基本结构的建立、位移法的典型方程及其物理意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、弯矩图的绘制。2.熟记常用的形常数和载常数。3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。4.掌握利用对称性简化计算。5.重点掌握荷载作用下超静定结构的内力计算，了解其它因素下的计算。6.位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。要求熟练掌握一种，另一种了解即可。7.知道位移法既能解超静定结构也能解静定结构。第8章位移法目的要求对一个结构来讲，当外因确定后，内力与位移就存在一恒定关系。解超静定问题时，先求力后求位移叫力法，若先求位移后求力则称位移法。力法的基本未知量是多余未知力，建立求解未知量的方程是根据变形协调条件，而位移法则是以某些结点的位移作为基本未知量，通过力的平衡条件建立求解未知量的方程。下面以图8-1(a)所示刚架来说明位移法的基本概念，在受弯杆件不计轴向变形的情况下，由变形协调条件可知，汇交于B结点的两杆BA及BC在B端均无线位移，只有角位移均为fB。假若把AB、BC梁视为图8-1(b)、(c)所示单跨梁，当AB梁的固定端发生转角fB时，内力可用力法求得，BC梁的内力可看作由fB及F分别引起的内力然后叠加而得，同样可由力法求出.§8-1概述M图(e)(d)(b)FFl1156356FlFl328MBAMBCC2EIlABBl2l2ABCl(a)BBBB4EIl3EIlBBBCFBF3Fl16(c)图8-1若取图8-1(a)中B结点为隔离体如图8-1(d)所示，则及必须满足B结点的平衡条件，于是有:BBAlEIM4(左侧受拉为正)1633FllEIMBAB(下侧受拉为正)(a)(b)0163016370FlFllEIMMBBCBAEIFlB11232(c)由图8-1(b)、(c)可得:有了杆端弯矩，则刚架的弯矩图即可求出，如图8-1(e)所示。由以上分析可以看出，用位移法解题时，存在一个拆、合的过程，即先把原结构如图8-1(a)“拆”成若干个单跨超静定梁，计算出已知荷载及杆端位移影响下的内力，然后再把这些单跨梁“合”成原结构，利用平衡条件求出，这就是位移法的整个思路。在介绍位移法时，还必须首先解决：(1)各种单跨超静定梁在杆端位移及荷载作用下的内力计算；(2)哪些结点位移可以作为位移法的基本未知量；(3)怎样建立求解未知量的方程。3,056ABBCFlMM为了计算方便，对杆端力及位移的正负号作一些新规定：杆端弯矩以顺时针方向为正，反之为负；杆端剪力的规定同以前规定，如图8-2(a)所示(最后内力图的绘制仍按第三章的规定不变)，支座处的反力应与杆端力的方向相反。杆端转角位移、也均以顺时针方向为正，两端相对线位移ΔAB则以使整个杆件顺时针转动为正，根据位移连续条件，支座(或结点)处的位移方向应与杆端力方向一样如图8-2(b)所示。§8-2等截面直杆的转角位移方程1．杆端力、杆端位移的有关规定由荷载或温度变化等外因引起的杆端弯矩及杆端剪力分别称为固端弯矩MF及固端剪力FSF。(b)BA(a)ABBAABBAFSBAFSABMABMBA图8-2（1）两端固定梁。2．公式推导BABX2X1(a)(b)基本结构X3Fl原结构FABBAABA图8-3用力法计算图8-3(a)所示单跨梁，可取图8-3(b)为基本结构，由于X3对梁的弯矩无影响，故在计算时可不予考虑，则力法方程BPAPXXXX2222112111212111(a)经力法计算多余未知力应为FBAABBAFABABBAMlEIlEIlEIXMlEIlEIlEIX2221642624(b)(b)式中的、为荷载F引起的固端弯矩。其中X1=MAB、X2=MBA，并设(称为线刚度)，则(b)式又可写为FBAM、FABMlEAiFBAABBABAFABABBAABMliiiMMliiiM642624式(8-1)称为AB梁的转角位移方程。根据平衡条件又可得AB杆的杆端剪力为2266126612FSABABABSABFSBAABABSBAiiiFFllliiiFFlll(8-1)(8-2)为荷载F引起的杆端剪力，即上面提到,FSABFFSBAF式(8-2)中的的固端剪力。（2）一端固定一端铰支梁在图8-4(a)中，AB梁除受到荷载作用外，A支座还有转角，A、B两端相对线位移为，仍用力法计算，基本结构为图8-4(b)所示。FABABAMlEIlEIX2133lEAiMXAB、12330FABAABABBAEIEIMMllM(8-3)ABX1(a)(b)ABABA原结构基本结构FF图8-4式(8-3)称为图8-4(a)所示单跨梁的转角位移方程。式(8-3)还可由式(8-1)推出，由MBA=0可得(荷载项单独考虑)同样根据平衡条件可得223333FSABAABSABFSBAAABSBAiiFFlliiFFll(8-4))3(210642abABABBAlliii(a)将(a)式代入式(8-1)第一式可得ABAABABAAABliililiiM336)]3(21[24考虑荷载时：FABABAABMliiM33(a)(b)(b)式中的FABM为一端固定一端铰支梁在荷载F作用下的固端弯矩，它即为式(8-3)的第一式。由以上分析可以看出，图8-4(a)所示单跨梁B不是一个独立的未知量，而是A、AB的函数，这对位移法中确定基本未知量有直接关系，应引以注意。当杆端弯矩求出后，单跨梁的内力图就不难画出。为计算方便，常把各种单跨超静定梁在支座位移(或杆端位移)及荷载作用下的杆端弯矩及杆端剪力制成表格，参见李廉锟编结构力学教材表8-1。§8-3位移法基本未知量及基本结构1．基本未知量在位移法中，基本未知量是指结构中各结点的独立位移，什么样的位移是独立位移可用下面例子说明。图8-5(a)所示刚架在荷载作用下，刚结点C、D除产生角位移C、D外，还有线位移ΔC及ΔD。由于受弯杆件忽略轴向变形的影响，C、D结点无竖向线位移，只有水平位移，且ΔC=ΔD=Δ，Δ即为结点的独立线位移，C、D则为独立的角位移，该刚架结点的独立位移总数应为3。若用n表示独立的角位移数目，用nl表示独立的线位移数目，即,由上述分析可知，独立的角位移数目也就是刚结点的数目。图8-5(d)所示刚架，E为铰结点，汇交于E结点的三根杆件各杆端转角由上节可知不是独立的，故该刚架,。.1,2lnn.1,2lnn独立的线位移数目，对于较复杂的结构无法直接观察而得，可采用下述“结点铰化”的方法进行判断：将结构所有刚结点和固定支座都改为铰结，从而得到一个相应的铰结图形，若此铰结图形为几何不变体系，则原结构所有各结点均无线位移。若铰结图形为几何可变体系，则视应在结点处加几个支承链杆才能保证其几何不变性时，所加链杆数目即为结点的独立线位移数，这种方法适用于任何有刚结点的结构。图8-5(b)、(e)分别为图8-5(a)、(d)对应的铰结图形。所加的链杆数与上述分析的线位移数目相同。结构中若有考虑轴向变形的杆件如图8-6(a)、(b)中的CD杆，则结点的独立线位移数目不能用以上方法判断。(b)(a)BACDABDCEAEIEIn=0nl=2n=2nl=2图8-62．基本结构由§8-1节可知，用位移法计算时，先把每杆件都看成一个单跨超静定梁，因此位移法的基本结构就是暂时将每根杆件看成两端固定或一端固定一端铰支或一端固定一端为定向支承的单跨梁的集合体，可假想地在每个刚结点上加一个“附加刚臂”以阻止该结点的转动(但不阻止该结点的移动)，在刚结点或铰结点处沿线位移方向加上一个“附加链杆”阻止结点的移动。位移法中的基本未知量用Z表示，这是一个广义的位移，并用“⌒”及“→”分别表示原结点处的角位移、线位移的方向，加在附加刚臂及附加链杆处，以保证基本结构与原结构变形是一致的，如图8-5(c)、(f)。对于图8-7(a)所示刚架，刚结点E、G的转角为基本未知量，分别用Z1、Z2表示，铰结点处的竖向线位移也是一个基本未知量用Z3表示，基本结构为图8-7(b)。图8-7(c)所示刚架，F为一组合结点，即BF、EF杆在F处为刚结,该结构，基本结构见图8-7(d)。2,4lnnZ3(d)(a)(b)(c)基本结构Z6Z5Z4Z2Z1ACB原结构Na=4Nl=2FBEDGCA基本结构Z3Z2Z1Na=2Nl=1CBDFGEA原结构图8-7§8-4位移法典型方程及计算步骤以图8-8(a)所示刚架为例，说明位移法的计算思路。设原结构C结点的角位移为Z1，C、D结点的线位移为Z2，基本结构如图8-8(b)所示。基本结构的变形与原结构是相同的，要使它们受力也相同，则基本结构在荷载与Z1、Z2的共同作用下，附加联系(含附加刚臂及附加链杆)处的反力矩及反力应为零(因为原结构不存在这些约束)，假设附加刚臂处的反力矩为R1，附加链杆处的反力为R2，则1200RR(a)设由Z1、Z2及荷载引起的附加刚臂上的反力矩为R11、R12、R1P，引起的附加链杆上的反力为R21、R22、R2P，如图8-8(c)(d)、(e)所示，根据叠加原理(a)式可写为R11+R12+R1P=0R21+R22+R2P=0(b)(b)式中R的两个脚标含义是：第一个表示反力(或反力矩)所属附加联系，第二个表示引起反力(或反力矩)的原因。若设r11、r12表示、时引起的附加刚臂反力矩，r21、r22表示、时引起的附加链杆反力，则(b)式又可写为1111221211222200PPrZrZRrZrZR(c)(e)(c)(d)(a)(b)R1PR2PqZ2Z2R12R22Z1Z1R21R11(2i)(i)(i)Z2Z1ABCql原结构l2EIEIEIqDCBAl基本体系图8-8当结构有个独立的结点位移时，基本结构就有个附加联系，根据每个附加联系的反力或反力矩均应为零，则可写出个方程1111221331121122223322311322333331122330000nnPnnPnnPnnnnnnnPrZrZrZrZRrZrZrZrZRrZrZrZrZRrZrZrZrZR(8-5)(i)(h)(g)(d)(e)(f)(c)(b)(a)00DC3il22r22CD12il6il0DCr21ql820Cr1206ilCC4i6ir11Mp图M2图M1图DCBA2ql8Z2=1DB3ilCA6il6il2i4i3(2i)=6iCDBAZ1=10R1PR2P图8-9式(8-5)称为位移法的典型方程。其中主对角线上的系数rii称为主系数(主反力或主反力矩)，因的方向始终与的方向一致，故恒为正值且不会为零。位于主对角线两侧的系数rij称为副系数(副反力或副反力矩)，其值可能为正、或负、或零。根据反力互等定理，rij=rji。RiP称为自由项，它是由荷载或其它外因引起的，其值同样可能为正、或负、或零。位移法典型方程的物理意义是：基本结构在荷载等外因和各结点位移Z1、Z2、……Zn共同影响下，每个附加联系的反力或反力矩均为零。因此典型方程实质上就是力的平衡方程。由于每个系数都是单位位移引起的附加联系上的反力或反力矩，它与结构的刚度成正比，因此这些系数也称为刚度系数，上述典型方程也称为结构的刚度方程，位移法又叫刚度法。典型方程中的系数及自由项计算：仍以图8-8(a)为例，首先可利用表8-1绘出基本结构在及荷载单独作用下的1121ZZ、P21M、、MM图如图8-9(a)、(b)、(c)所示，然后取图8-9(d)、(e)、(f)