南昌航空大学2009-10概率论与数理统计-答案-(2)

第1页共7页南昌航空大学2009—2010学年第一学期期末考试课程名称：概率论与数理统计（工科）闭卷A卷120分钟题号一二三四五六七八九合计满分1612121410108810100实得分一）填空题（每空2分，共16分）1、Y分）1、设A,B,C为三个随机事件,P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)=P(AC)=P(BC)=61,P(ABC)=0,则P(ABC)=___________.加法公式2、设随机变量X服从)4,1(N，则X的概率密度函数为＿＿＿＿＿＿＿＿；正态分布密度公式3、设随机变量X服从参数为)0(的泊松分布，并且21XPXP，则3XP=＿＿＿＿＿＿＿＿；,!{1}{2},{3}kPXkekPXPXPX求出计算4、已知1)()(XDXE，则)12(XE＿＿＿＿＿＿＿＿；)12(XD＿＿＿＿＿＿＿＿；5、设),(~2N，则服从的的分布为＿＿N(0,1)＿＿＿＿＿＿＿＿。6、设与相互独立，且服从)(2n分布，服从)(2m分布，则mn服从的分布为＿F(n,m)＿＿＿＿。7、若1021,,,相互独立，10,,2,1),,(~2iNiii，则1021,,,的函数2＿＿＿＿＿＿＿＿服从)10(2。班级-------------------学号--------------姓名-----------------重修标记评阅人得分第2页共7页8、在区间]1,1[内任意投点，以表示投点的坐标，则的分布函数为＿＿＿＿＿＿＿＿。1-11()1/2,[1,1];0,0,1()1/2,111,1xfelseFdxxx服从【，】上的均匀分布，概率密度二）某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为1:2:3:9，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:3:2:1，当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少。（12分）i12341234111XY)9/15,)3/15,)2/15,)1/15,(|)=1/7(|)=2/7(|)=3/7(|)=1/7()(|()PYPYPYPYPYPYPY设表示事件“机床分别为车床、钻床、磨床、刨床”，i=1,2,3,4设表示事件“机床需要维修”根据题意，P(XP(XP(XP(XX，X，X，X，要求的是当机床需要维修时，机床是车床的概率，这是一个贝叶斯问题XXP(X)=141)(|)()(|)iiiPYPPYXXX三、设某种型号的器件的寿命X（以小时计）具有概率密度其它,01000,1000)(2xxxf，现有一批此种器件，各器件损坏与否相互独立，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？（12分）评阅人得分评阅人得分第3页共7页0050115155215001500Y1500(2)1(2)1(0)(1)1(1)(1)p,p(1500)()1000/PYPYPYPYCppCppPxfxdxxdx设表示寿命大于小时的器件的个数；有Y~B(n,p),n=5,p=P(X1500)最终要求的概率是剩下的问题就是求我们知道p=P(X1500)根据连续性随机变量概率密度的性质2/3代入计算即可。四、设随机变量（X，Y）的联合分布密度函数为：其它,010),(),(xyyxcyxf1）求常数c；2）求X，Y的边缘分布函数)(),(yfxfYX；3）讨论X，Y的独立性；4）计算1YXP；（14分）11（）利用联合概率密度积分等于的性质(2)01()(,)(),x100xXxfxfxydycxydyx当0时，当或时，等于(3)根据f(,)()()XYxyfxfy来判断独立性评阅人得分第4页共7页(4)11/210y1(,)10y11=dy(,)XYyPXYfxydxdyXYxPXYfxydx画图判断积分区域五、已知随机变量),(YX的分布律为YX123121/31/61/91/18问：（1）当,为何值时，X和Y相互独立。（2）求12YXP。（10分）(1)11/3+++1/6+1/9+1/18=11=(1,2)(1)*(2)(1/3)*(1/9)(2)pxypxpy根据分布律性质，所有概率之和等于，即；（）另由独立性知，联合分布律应等于边缘分布律之积即由(1,2)可以求出，(2,1)(2,2)(2,3)221=(1)(2)(3)1/91/18(1/9)(1/18)pxypxypxyPXYPYPYPy（）X+y=1Y=x1/2评阅人得分第5页共7页六）某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为(%)3.253.273.243.263.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在01.0下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。（6041.4)4(005.0t）（10分）0010/2/20.005:3.25,:3.25xx3.25||=||t(1)//x=3.252S=0.013t(1)t(4)4.6041x3|HnSnSnn按步骤来第一步：根据题意给出假设，H第二步：确定拒绝域形式：显然这是一个双边假设，同时又由于总体均值与方差均未知，所以应该套用方差未知时关于均值的拒绝域公式，即第三步：代入观察值计算，比较大小，，n=5,所以0.0050.25|0.0688t(4)4.6041/HSn因此没有落入拒绝域，所以接受假设七）若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用他们去试开门上的锁。设取到每只钥匙是等可能的，若把每把钥匙试开一次后放回。求试开次数X的数学期望。（8分）评阅人得分评阅人得分第6页共7页试开次数X是一个离散型随机变量，可能取值为：12，，，，111111(1)1/;(2)()=p()p()=(1-1/n)*1/n;()(11/)*1/()(11/)*1/1/(11/)=1/[(1kkkkkkpxnpxppxknnkpxkknnnknn并且取每一个可能值的概率为第一次没有打开，第二次打开第一次没有打开第二次打开同理可得，知道了所有可能取值和取每一个可能值的概率，其数学期望自然得到E(X)='11/)]kkn求这个级数极限就可以了八）100台车床彼此独立地工作，每台车床实际工作时间性占全部工作时间的80%，求任一时刻有70至80台车床在工作的概率？（8分）708070-8070-8070-80(n,p)npp这类问题也有固定的套路，求任一时刻有至台机床在正常工作的概率？事实上，这个问题包含了两层意思，一是机器正常工作，另一层还要保证正常工作的台数为“正常工作”这个试验显然是贝努里试验，台机器正常工作表示贝努里试验发生的次数是，读到这里，我们应该想到对于贝努里试验发生的次数应该服从参数为的二项分布，其中为总试验次数，为试验发生的概率，这里就应该为机器8070p=0.8n=100Xp()(1),70-80p(7080)=()-nx()kknknkxkCppxpxkEx正常工作的概率，根据题意，，设为任一时刻正常工作的机器台数，那么X~B(n,p)即所以正常工作台数为之间的概率为显然这个数值比较难计算我们在第五章学过中心极限定理，狄莫佛拉普拉斯定理告诉我们：当很大时，二项分布的极限分布是正态分布，其标准化变量服从标准正态分布即~(0,1),()70()x()80()80()70()p(7080)()()()()()()()()(),()NDxExExExExExxpDxDxDxDxDxExnpDxnpq其中第7页共7页九）包糖机每天开工包了12包糖，称得重量X（单位：克）的平均值为583.504x，样本方差为22873.12s；1）设重量X服从正态分布，试由此数据对糖包的平均重量作置信度为95.0的置信区间；2）若X服从)01.0,(2N，求的置信度为90.0的置信区间。（10分）/2/21)x(1)x=504.583S=12.873n12,10.95,2xnStnnz这种情况是方差未知，所以套用这种情况下的公式，即如果记住了公式，那么下面的工作就好做了找参数，，，所有的参数都找到了，代入计算就可以了）这种情况是已知了方差，所以置信区间的公式为1）附9938.0)5.2(,9332.0)5.1(，975.0)96.1(）2）附：评阅人得分