3南昌大学概率论边缘分布

1小结联合分布函数离散型连续型),(),(),(),(},{211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP——联合分布列——联合概率密度jijipyYxXP},{,2,1,jiyyxxjijipyYxXPyxF,},{),(yxdudvvufyxF),(),(dxdyyxfGyxPyxfyxyxFG),(}),({),(),(2X与Y的联合分布},{),(yYxXPyxF非负性规范性),(yxf2题某产品８件,其中有２件次品.每次从中抽取一件,不放回，抽取两次,分别以X、Y表示第一、二次取到的次品件数,试求(X,Y)的分布律．2812862862815}{}{}{ij|XYPiXPji,YXP(X,Y)的所有取值为(i,j),i,j=0,1由乘法公式有解XY01013二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?这一节里,我们就来探求这个问题.§3.2边缘分布4二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数,,Fxy而和都是随机变量,XY也有各自的分布函数,分别记为,,XYFxFyXFxPXx变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机,,YFyPYyPXYyFy一、边缘分布函数,PXxY,Fx说明,已知联合分布函数,可以确定边缘分布函数.5边缘分布的几何意义：FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域内的概率；FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区域内的概率。OxxOxyyy6例:设(,)XY的联合分布函数0.50.50.5()10,0(,).0xyxyeeexyFxy其它求(,)XY关于X的边缘分布函数()XFx.解(X,Y)关于X的边缘分布函数0.50.50.5()0.5()(,)lim(,)lim[1]0100000XyxyxyxyFxFxFxyeeexexxx即X服从参数λ=0.5的指数分布.二、二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为:P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,…)则:P{X=xi}=P{X=xi,Y+}=pi·1},{jjiyYxXP1jijp同理:分别称pi·(i=1,2,…)和p·j(j=1,2,…)为X和Y的边缘分布律另有:=p·jFY(y)=F(+,y)FX(x)=F(x,+)1}{iijjpyYPxxjijipiyyijjp点·表示pij对于该点所在位置的变量求和9【注】边缘分布律可由联合分布律表所决定:YX1y2yjy.ip1x11p12p1jp1.p2x21p22p2jp2.pix1ip2ipijp.ip.jp.1p.2p.jp1例1设(X,Y)的分布律如下:YX012011/41/61/81/41/81/12求X和Y的边缘分布律解:X的边缘分布律:,i=0,i=1,i=2,j=0,j=1Y的边缘分布律:pi·=p·j=214141247816124512181241381614124111218141或直接在表格上:YX012p·j011/41/61/81/41/81/12pi·1/27/245/2413/2411/241ijijp13FX(x)=F(x,+)X和Y的联合分布函数为F(x,y),则(X,Y)关于X的边缘分布函数为(X,Y)关于Y的边缘分布函数为),(limyxFy三、连续型二维随机变量的边缘概率密度xdudyyuf]),([xyydudvvuf),(limxdudyyuf]),([xXXtdtfxF)()(yYdvdxvxfyF]),([)((X,Y)关于Y的边缘概率密度为dxyxfyfY),()(则(X,Y)关于X的边缘概率密度为dyyxfxfX),()(例2设随机变量(X,Y)的概率密度为求:X和Y的边缘概率密度解:0,其它=0≤x≤1其它,020,10,31),(2yxxyxyxfdyyxfxfX),()(,)31(202dyxyx=0,其它0≤y≤2dxyxfyfY),()(其它,010,3222xxx,)31(102dxxyx其它,020,6131yy在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度是分段函数时，在计算积分时应特别注意积分限.16题设(X,Y)的概率密度是,,0;10,,6),(2其它xxyxyxf解dyyxfxfX),()(求边缘密度.dxyxfyfY),()(分段函数积分应注意其表达式;10x;10y,62xxdy，yydx6yx01y=xy=x2yx.,0其他.,0其他17yx-a0a例3设(X,Y)服从椭圆域上的均匀分布,求12222byax(1)求(X,Y)的边缘密度函数;)(),(yfxfYX解(1),,0;1,1),(2222其它byaxbayxf由题知(X,Y)的概率密度为dyyxfxfX),()(同理可得.,0;,12)(22bybybybyfY(2)AdxdyyxfAYXP),(}),({(2),其中A为区域:}0,0,{yxayx}),({AYXPX与Y不服从均匀分布,1222211axaxbbdyba;1222axa，ax||,0axadybadx001;||ax.2ba二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布221axby221axbyyxa0aGx+y=a二维正态分布的边缘分布仍是正态分布例4设(X,Y)服从二维正态分布,其概率密度为:求:X和Y的边缘概率密度)2()1(212222121),(yxyxeyxfx+,y+,解:令,得:dyyxfxfX),()(dyeyxyx)1(222222121dyeexyx)1(2)(22222112txy21dteexftxX22222)(同理,得:dteetx22222122221xe2221)(yYeyf可见,(X,Y)～N(1,2,12,22,)X~N(1,12),Y~N(2,22)21说明对于确定的1,2,1,2,当不同时，对应了不同的二维正态分布。对这个现象的解释是:边缘概率密度只考虑了单个分量的情况,而未涉及X与Y之间的关系.(X1,X2)∼N(1,2,,)X1∼X2∼(与参数无关)),(211N),(222N2221,22例5若二维随机变量(X,Y)的概率密度为,,,)sinsin1(21),(222yxyxeyxfyx求边缘密度函数.)(),(yfxfYX解dyyxfxfX),()(dyyxeeeyyx)sinsin(21222222;,2121222222xeydeexyx同理.,21)(22yeyfyY.)1,0(;)1,0(NYNX～～二维正态分布性质二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的正态分布的联合分布未必是正态分布但反之不真23X与Y之间的关系这个信息是包含在(X,Y)的联合概率密度函数之内的.在下一章将指出,对于二维正态分布而言,参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程度.因此,仅由X和Y的边缘概率密度(或边缘分布),一般不能确定(X,Y)的概率密度函数(或概率分布)