南昌大学概率论随机变量函数的分布

1复习分布函数离散型连续型yyxxjijipyYxXPyxF,},{),(yxdudvvufyxF),(),(边缘分布离散型连续型,),()(dyyxfxfXX与Y的联合分布},{),(yYxXPyxF(X,Y)关于X和Y的边缘分布),,()(xFxFX),()(yFyFY关于X的关于Y的关于X的关于Y的,}{1ijjiixXPppxxiXipxF)(xXdudyyufxF]),([)(X与Y相互独立)()(),(yYPxXPyYxXP)()(),(yFxFyxFYX,jijippp,)()(),(yfxfyxfYX离散型连续型2我们仍采取类比的方法学习二维随机变量函数的分布问题我们曾经讨论了一维随机变量X函数g(X)的分布，§3.5二维随机变量函数的分布现在我们进一步二维随机变量的函数的分布问题讨论:二维随机变量(X,Y)的分布和二元函数Z=g(X,Y)一维随机变量Z的分布分两种情形讨论3例1设(X,Y)的分布律为求(1)Z=X+Y(2)Z=XY的分布律.一离散型随机变量的函数的分布XY012-120.20.30.10.10.10.2解(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)-101234(X,Y)Z=X+YZ=XY0.20.30.10.10.10.20-1-2024Z=XY0.30.10.30.10.2-1-20244设(,)XY是二维离散型随机变量,其联合分布率为,,(1,2,;1,2,)ijijPXaYbpij(,)ZgXY则是一维的离散型随机变量其分布率为(,),(1,2,;1,2,)ijijPZgabpij结论5例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0求随机变量Z=X+Y的分布律.},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP得YX421318.012.042.028.0因为X与Y相互独立,所以解6可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18.012.042.028.0YXZ3557所以YXZP35718.054.028.0YX421318.012.042.028.07例3设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为XP105.05.0.),max(:的分布律试求YXZ},{}{},{jYPiXPjYiXP所以于是XY1010221221221221解,相互独立与因为YX8}),{max(iYXP},{iYiXP},{iYiXP}0),{max(YXP}0,0{P,212}1),{max(YXP}1,1{}1,0{}0,1{PPP222212121.232的分布律为故),max(YXZZP104341XY10102212212212219二、连续型随机变量函数的分布设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，其函数Z=g(X,Y)为连续函数,求连续型随机变量Z的概率密度fZ(z)？(I)求Z的分布函数FZ(z)；(II)对分布函数FZ(z)求导即得Z的概率密度fZ(z).∵FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)构成的区域记为G.),(Gdydxyxf=P((X,Y)G)zyxgZdydxyxfzF),(),()(分布函数法zyxgZdydxyxfzF),(),()(zyxgZdydxyxfzF),(),()(=P(g(X,Y)z)=P(g(X,Y)z)1001xy例4设(X,Y)的概率密度为求Z=X-Y的概率密度..,0;0,10,3)(其他，xyxxyxf解x-y=zy=x∵FZ(z)=P(Zz)=P(X-Yz)zyxdydxyxf),(当z0时,当0z1时,当z1时,)(zFZydxxdxz003ydxxdxzxz31;21233zz)(zFZ0;)(zFZydxxdx0103=1,)()(zFzfZZ;10z，)1(232z.,0其他)(z11其它,,0101xxfX其它,,00yeyfyY题设X,Y独立，密度函数分别为，求Z=2X+Y的密度函数。解：2ZFzPZzPXYzxO71y292x+y=z显然，当z0时,0zFZDyxDyxeyfxfyxfyYX),(,),(,)()(),(012O71y292x+y=z当0≤z2时,21212120220201zzzxzyxzDezdxedyedxdxdyyxfzF)(),()(当z≥2时,zzzxyxzDeedxedyedxdxdyyxfzF212111210210202)(),()(13因此2212112021212002zeezezzzFzzzZ,,,)(00221201212zzeezezFzfzzZ,,,)()()(下面就按着这个思路,讨论几个特殊函数的分布：14设(X,Y)的概率密度为f(x,y),Z=X+Y的分布函数为}{)(zZPzFZzyxdxdyyxf),(xzdyyxfdx),(udxuxfdxz),(duxdxuxfz]),([一、Z=X+Y的分布x+y=zGyxoyuxdxxzxfzfZ),()(15Z=X+Y的概率密度:dxxzxfzfZ),()(dyyyzfzfZ),()(dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(卷积公式当X,Y相互独立时,16例5设X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度。222211(),(),(,)22yxXYfxefyexy22()221122zxxeedx2zxt2241()2tzZfzeedtZ=X+Y~N(0,2).()()()ZXYfzfxfzxdx22()2412zxzeedx解241()22zez17(2)若且相互独立，则2~(,),(1,2,)iiiXNin2111~(,)nnniiiiiiXN一般结论：(1)若且相互独立，则X+Y仍服从正态分布，且221122~(,),~(,)XNYN),(~22212,1NYX(3)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布22111~(,)nnniiiiiiiiicXNcc18为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例6若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.1,01()0,xfx其它()()()ZXYfzfxfzxdx解:由公式1010xzx也即zxzx11019011,01()2,120,zZzdxzzfzdxzz其它如图示:于是服从均匀分布的有限个独立地随机变量之和不服从均匀分布20解依题意，riirYPiXPrZP0)()()(它们分别服从参数为1,2的泊松分布,由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…,!)(11ieiXPi，!)(22jejYPj例若X和Y相互独立,证明Z=X+Y服从参数为1+2的泊松分布.riiriireie0!)(!2121riiriirirre0)()!(!!!2121,)(!21)(21rre即Z服从参数为1+2的泊松分布r=0,1,…离散型中也有类似公式独立，则和若YXiikYiXkXxzpxpzp)()()(jjkXjYkYyzpypzp)()()(或21两个独立随机变量的和的分布1122~()~()~()XPXYPYP如果X与Y相互独立~(,)~(,)~(,)XBmXYBmnppYBpn211221212222~(,)~(,)~(,)XNXYNYN22的分布YXZ.2(,)(,),XXYfxyZY设的概率密度为则的分布函数为}{)(zZPzFZ}{zYXPxyOzyx1G2G1(,)ddGfxyxy2(,)ddGfxyxy0(,)ddyzfxyxy＋0(,)dd,yzfxyxy＋,yxu令231(,)ddGfxyxy0(,)ddyzfxyxy＋0(,)ddzyfyuyuy＋0(,)ddzyfyuyyu＋同理可得20(,)dd(,)dd,zGfxyxyyfyuyyu故有}{)(zZPzFZ1(,)ddGfxyxy2(,)ddGfxyxy2400()(,)d(,)dfzyfyzyyyfyzyy＋(,)d.yfyzyy＋当X,Y独立时,()()()d.XYfzyfyzfyy＋00[(,)d(,)d]d.zyfyuyyyfyuyyu＋由此可得分布密度为25..,0,0,2)(,,0,0,)(,,,,2的概率密度函数试求其它其它它们的概率密度分别为相互独立寿命的灯泡的分别表示两只不同型号设YXZyeygxexfYXYXyx00()(,)d(,)d,Zfzyfyzyyyfyzyy＋解由公式例726.,0,0,0,2),(2其它yxeeyxfyxyeyzyd2)2(0,)2(22z得所求密度函数yeeyzfyyzZd2)(20)0(时当z)0(时当z,0)(zfZ得.0,0,0,)2(2)(2zzzzfZ3.Z=max{X,Y}或Z=min{X,Y}的分布(1)Z=max{X,Y}的分布函数:FZ(z)=P{Z≤z}若X与Y相互独立则FZ(z)=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z)=P{X≤z,Y≤z}(2)Z=min{X,Y}的分布函数:FZ(z)=P{Z≤z}=1P{Zz}=1P{Xz,Yz}若X与Y相互独立则FZ(z)=1P{Xz}P{Yz}=1[1P{X≤z}][1P{Y≤z}]=1[1FX(z)][1FY(z)]29由于当L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,已知它们的概率密度分别为例8设系统L由两个独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为:(1)串联，(2)并联,(3)备用(当系统L1损时,系统L2开始工作),设L1,L2的寿命分别为X,Y,,0,0,0,)(xxaexfaxX,0,(),,00byYbeyfyy),0,0(baba且试分别就以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度.XYL2L1解(1)串联的情况:tdtfxFxXX)()(,0,0,0,1)(yyebyFybY,0,0,0,1xxaeaxZ=min(X,Y)的分布函数为故L的寿命为Z=min(X,Y),Fmin(z)=1-[1-FX(z)]·[1-FY(z)].0,0,0,1)()(minzzezFzba