数列求最值

1数列的最值问题教学目标：1、会通过研究数列}{na通项的规律，判断其前n项和nS的最值情况；2、会利用函数思想研究数列的最值问题；3、会利用求数列中最大（小）项的一般方法研究数列的最值问题；4、体验数列问题和函数问题之间的相互联系和相互转化。教学重点：1、研究数列最值问题的三种基本思路的理解和应用；2、数列与函数的联系及数列的特殊性在解题中的体现。教学难点：1、用函数思想研究数列问题时应注意的方面；2、求数列中最大（小）项的一般方法的理解。教学设计思想：数列的最值问题是一类常见的数列问题，是数列中的难点之一，也是函数最值问题的一个重要类型，数列的最值问题大致有以下2种类型：类型1、求数列}{na的前N项和nS的最值，主要是两种思路：（1）研究数列)(nfan的项的情况，判断nS的最值；（2）直接研究nS的通项公式，即利用类型2的思路求nS的最值。类型2、求数列}{na的最值，主要有两种方法：（1）从函数角度考虑，利用函数)(xfy的性质，求数列)(nfan的最值；（2）利用数列离散的特点，考察11kkkkaaaa或11kkkkaaaa，然后判断数列}{na的最值情况。数列可看作定义在自然数集上的函数，在研究数列问题时既要考虑2它与函数的紧密联系，又要重视它的特殊性。这节课为高三第一轮复习课中数列最值问题的第一课时，学生对数列的最值问题大多没有形成明晰的知识脉络，因此，这节课在知识技能上以基本概念和基本解题思路的理解和掌握为主，同时注意函数思想的渗透和部分函数、不等式知识技能的滚动复习。从以往的情况来看，学生在用函数思想解题时，容易遗漏数列定义域的特殊性，并对求数列中最大（小）项的一般方法理解不深刻，容易遗忘。教学内容：一、例1、在等差数列}{na中，1,101da，nS为}{na前n项和，求nS的最大值。解法1：研究数列na的正数与负数项的情况110nan，又011a，当n=10或n=11时，nS取到最大值55。解法2：821)221(2122nSn，当n=10或n=11时，nS取到最大值55。例2、已知数列}{na的通项)10,(22*nNnnnan，求数列}{na中的最大项和最小项。解：nnan22，4.9,5.954aa，2.12,23101aa由函数的单调性可知：1054321aaaaaa数列}{na中的最大项为1a，最小项为5a。例3、已知数列}{na的通项公式nnna)109)(1(，)(Nn，求}{na的最大值。解：nnna)109)(1(108)109()109)(1()109)(2(11nnnaannnnn故当8n0时，nnaa1；3当8n时，89aa；当8n时，nnaa1；......111098721aaaaaaa所以}{na的最大项为89aa故存在k=8或9使knaa（*Nn）。例4、已知数列}{na的通项公式nnan2,)(Nn，若na随n的增大而增大，从而使1a最小，求λ的范围。解：对称轴：232n3二、思考与巩固练习：1、已知数列}{na的通项)(1110*Nnnnan，求数列}{na中的最大项和最小项。2、若数列}{na的通项公式为*,Nnnknan，（1）1a为}{na的最小项，试求实数k的取值范围。（2）数列}{na的前n项和为nS，若当n=5和n=6时，nS同时取到最小项，求实数k的值。3、是否存在数列}{na，它既没有最大项，也没有最小项？若存在，试写出一个满足条件的数列的通项公式；若不存在，请说明理由。4、首项为正数的等差数列}{na，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？5、设等差数列}{na的前n项和为nS，已知,0,0,1213123SSa（I）求公差d的取值范围；（II）指出nSSS,,,21中哪一个最大？说明理由；（III）指出nnaSaSaS,,,2211中哪一个最小？说明理由.6、设*Nn，当n是什么数时，4|100||3||2||1|nnnnSn取最小值，并说明理由.7、已知函数cxxgbxxxf5)(,13)(2是偶函数是奇函数，正数数列}{na满足：.1)()(,12111nnnnnaaagaafa（I）若}{na的前n项和为nnnSSlim,求；（II）若}{),()(21nnnnbagafb求中的项的最大值和最小值.三、小结：这节课我们在研究数列的最值问题时主要使用了哪些方法？在应用这些方法时，需要注意哪些方面？1、会通过研究数列}{na通项的规律，判断其前n项和nS的最值情况；注意：（1）当}{na为递增或递减数列时使用较好；（2）若存在ka=0，则数列取到最值的项可能不止一项。2、利用函数)(xfy的性质，求数列)(nfan的最值；注意：n只能在自然数集合*N中取到！3、会利用求数列中最大（小）项的一般方法研究数列的最值问题；（1）、若数列}{na中的最大项为ka，则11kkkkaaaa；（2）、若数列}{na中的最小项为ka，则11kkkkaaaa。注意：这只是ka为数列最值的必要不充分条件，不是充要条件，若k不止一解时，需要代入检验。