南昌大学概率论协方差和相关系数

1分布分布列或分布密度期望方差B(n,p)(0—1)U(a,b)E()ppqnpnpq其它,0;,1)(bxaabxf0,)2)(exp(21)(22xxfkkqpkXP1)(knknkqpCkXP)(P()00,00,)(xxexfx2ba12)(2ab2N(,2)!)(kekXPk121体现了随机变量数字特征的重要性常用随机变量的期望与方差可以互相确定均和参数关联1,10,1,0qppk1,10,,,1,0qppnk,1,0,0k2对于随机变量(X,Y)而言:E(X)、E(Y)反映分量X、Y各自的平均值D(X)、D(Y)反映分量X、Y各自的平均偏离程度并未反映X、Y之间的相互关系§4.3协方差和相关系数这就是本章的又一个问题——协方差与相关系数3即cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)].1.定义设二维随机变量(X,Y),一、协方差记为cov(X,Y).若E[(X-EX)(Y-EY)]存在,则称E[(X-EX)(Y-EY)]为X,Y的协方差,离散型——11)()(),cov(ijijjipEYyEXxYX连续型——ydxdyxfEYyEXxYX),())((),cov(二维随机变量函数(X-EX)(Y-EY)的期望4Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.2.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即特别地)()()(),(22XDXEXEXXCov5协方差的性质性质1协方差的计算与X,Y的次序无关Cov(X,Y)=Cov(Y,X)性质3对任意常数a1，a2，b1，b2有Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y)性质4设X1，X2，Y1，Y2为随机变量，则有Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)Cov(X,Y1+Y2)=Cov(X,Y1)+Cov(X,Y2)性质2Cov(X,a)=06性质5设X，Y为随机变量，则有D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)性质6设X，Y为任意随机变量，则有[Cov(X,Y)]2≤D(X)D(Y)[Cov(X,Y)]2=(E{[X-E(X)][Y-E(Y)]})2=D(X)·D(Y)证明：≤E{[X-E(X)]2}·E{[Y-E(Y)]2}柯西-许瓦兹不等式7注：1°协方差可正、可负、可为零。2°的大小刻划了X与Y线性关系的强弱。|(,)|CovXY()()ijijijxEXyEYpEX*••ixiy•*EY•iy3°受量纲的影响，不便于实际应用。8协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y自身取值的影响。Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，就需要对协方差进行标准化处理，这就引入了相关系数的概念。例如：当X与Y同时增大k倍时，kX与kY之间的相互联系和X与Y之间的相互联系应该是一样的，但反映这种联系的协方差却增大了k2倍，即9随机变量的标准化设随机变量X的数学期望E(X),方差D(X)均存在，且D(X)0，定义一个新的随机变量()*XEXXDX则EX*=0,DX*=1。称X*是随机变量X的标准化了的随机变量。消除受量纲的影响10标准化以后的随机变量协方差),(),(2211**dcYdcXCovYXCov),(),(**DYEYYDXEXXCovYXCov),(1.1),(**YXCovDYDXYXCov常数二、相关系数定义:若D(X)0,D(Y)0,则称)()(),(YDXDYXCov为X,Y的相关系数或标准协方差,记为XY,即)()(),(YDXDYXCovXY12,1)(YDCEXDXYDEYXXDDYYP22)(),cov(DXaXXa2.相关系数的性质.1||)1(XY证由方差与协方差的关系知,1)(CXYP.1XY01XY.1)(01)2(bXaYPbaXY，和常数——X和Y以概率1线性相关D(X*±Y*)=DX*+DY*±2cov(X*,Y*)=1+1±2cov(X*,Y*)=2(1±XY),0,1;0,1aaDYDXYXXY),cov(;1XY证“”：“”：设|XY|=1，若a0和b,P(Y=aX+b)=1,)(),cov(baXDDXbaXX若XY=1，由(1)的证明可知D(Y*-X*)=01)(CDXEXXDYEYYP则有P(Y=aX+b)=1,P(X=C)=1DX=0类似可证XY=-1时的情形.ab相关系数从概率角度刻划了X和Y之间“线性相关”的程度13∵X与Y独立时,cov(X,Y)=E(XY)–EXEY=00),cov(DXDYYX由XY=0不一定能推出X和Y独立.定义3.当XY=0时,称X与Y是不相关的或无关的.例设X~U(-,),Y=X2,则EX=0,故cov(X,Y)=E(XY)–EXEY=0,即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系.无关未必独立!(3)X和Y独立=0;独立必无关但其逆不真•X与Y不相关——仅是指X与Y之间没有线性关系E(XY)=dxx23=0,∴=0,•独立性与相关性——从不同角度刻划了随机变量之间的联系程度X,Y统计规律之间的联系X,Y之间的线性关系若(X,Y)~正态分布,则X与Y不相关等价于X,Y相互独立例1设(X,Y)的概率密度为其它,010,10,),(yxyxyxf求Cov(X,Y)、XY解:dxdyyxxXE1010)()(127同理,得:127)(YEdxdyyxxyXYE1010)()(31有:Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)1441dxdyyxxXE101022)()(125同理,得:125)(2YED(X)=E(X2)E2(X)2)127(12514411同理,得:14411)(YD有:)()(),(YDXDYXCovXY1441114411144111117.),,,,,(~),(222121相关系数的与试求设YXρσσμμNYX解2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf由,,21)(21212)(1xeσxfσμxX.,21)(22222)(2yeσyfσμyY例218.)(,)(,)(,)(222121σYDσXDμYEμXEyxyxfμyμxYXdd),())((),Cov(21而xyeeμyμxρσσσμxρσμyρσμxdd))((1212112222121)1(212)(21221,1111222σμxρσμyρt令,11σμxu19uteuσρσtuρσσYXtudd)1(21),Cov(2222122122teueuσρσtudd22222122tteueuρσσtudd212222122,22221σρσ.),Cov(21σρσYX故有20.)()(),Cov(YDXDYXXY于是　　结论;,)1(的相关系数与代表了参数中二维正态分布密度函数　　　YXρ.)2(相互独立与等价于相关系数为零与二维正态随机变量　　　YXYX21.23,21),4,0(),3,1(,22YXZρNNYXXY设分别服从　　已知随机变量.)2(.)1(的相关系数与求的数学期望和方差求ZXZ解.16)(,0)(,9)(,1)()1(YDYEXDXE由)23()(YXEZE得　　)(21)(31YEXE.31例322)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD),Cov(31)(41)(91YXYDXD)()(31)(41)(91YDXDρYDXDXY.324123)()(21)(31YDXDρXDXY.033.0))()((),Cov(ZDXDZXρXZ故)23,Cov(),Cov()2(YXXZX),Cov(21),Cov(31YXXX24练习相互独立，，且设设YXNYNX),(~),,(~22是不全为零的常数）。，其中的相关系数和试求(21YXZYXZ25解：2)()(YDXD222221)()()()()(YDXDYXDZD222222)()()()()(YDXDYXDZD22222121)()(),(21ZDZDZZCovZZ),(),(21YXYXCovZZCov),(),(22YYCovXXCov22()()DXDY222()26例设(X,Y)的概率密度为,1,0;1,1),(2222yxyxyxf证(1)ydyxfxfX),()(,11,1122xxyx;11x22111xxdy0,其他,,122x,,0;11,12)(2其他yyyfY偶函数∴EX=EY=0,dxdyyxXYEyx1221)(又=0,∴cov(X,Y)=0,=0，∴X与Y不相关.(2))1()1(4)()(122222yxyfxfyxYX，时f(x,y)∴X与Y不独立.证明(1)X与Y不相关；(2)X与Y不独立.27主要内容第四章随机变量的数字特征(一)数学期望(均值),2,1,}P{Xkpxkk(1-1)X:离散型.kkkpxXE1)(分布律:kkkpxgXgEYE1)()]([)(Y=g(X)（g为连续函数）函数：(1-2)28(一)数学期望(均值)kkkpxXE1)(kkkpxgXgEYE1)()]([)(dxxfxXE)()(dxxfxgXgEYE)()()]([)(ijijijpyxgYXgEZE11),()],([)(dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(dxdyyxfxXE),()(dxdyyxfyYE),()(ijiijpxXE11)(ijiijpyYE11)(29(3)数学期望的性质:假设以下随机变量的数学期望均存在．1.E(C)=C,（C是常数）2.E(CX)=CE(X),（C是常数）3.E(XY)=E(X)E(Y),4.设X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)30(二)方差kkkpxXD21E(X)][)(1,2,k,}P{Xkkpx1。若X:离散型.dxxfxXD)(E(X)][)(22。若X:连续型.概率密度为f(x)}E(X)][XE{Var(X)D(X)2(1)22[E(X)])E(XD(X)计算公式：D(X))(x3。均方差或标准差:31假