南昌大学概率论大数定律及中心极限定理

1极限定理包含的内容很广泛,只有在相同的条件下进行大量重复试验时,随机现象的规律性才会呈现出来.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.研究大量的随机现象,极限工具无疑是最有效的方法.大数定律与中心极限定理我们先介绍也就是说,要从随机现象中寻求必然的法则,应该研究大量随机现象.这导致了对极限定理的研究.其中最重要的有两类:5.1大数定律2设随机变量X有期望和方差，由切比雪夫不等式可看出：DX越小,则事件{|X-E(X)|}的概率越大,或.1)||(2DXXEXP,)||(2DXXEXP由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度一、切比雪夫不等式则0,证(仅就连续的情形给出证明)则0,设X的密度函数为f(x),dxxfXEXPEXX||)()||(xdxfEXxEXX||22)()(dxxfEXxEXX||22)()(1.2DX即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.1)(22EXx在未知分布的情形下估计P(|X-EX|)例1已知E(X)=100,D(X)=30,试估计X落在(70,130)内的概率解:P{70X130}=P{|X100|30}由契比雪夫不等式,得:230301}30|100{|XP0.967契比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知情况下,事件{|X|}或{|X|≥}的概率的一种估计方法4例2设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率.解设X表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)01.0616000XP65000)(,1000)(XDXE)60|1000(|XP2606500017685.0108835实际精确计算1060940XP01.0616000XP1059941600060006561kkkkC959036.0用Poisson分布近似计算1060940XP01.0616000XP937934.010599411000!1000kkke取=10006921,,,1iE)9,,2,1(1iDi01.设相互独立，，，则根据切贝谢夫不等式,对于任意给定的，有______________.2911)|1(|iiP2911)|191(|iiP2911)|9(|iiP29191)|9(|iiP7它们的方差都存在,设Xn是相互独立的随机变量序列,则Xn服从大数定律.定理1(Chebyschev切比雪夫大数定律).1)|)1(1|(lim11niniiinXnEXnP且有公共上界,即对任意的0,有证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式证由Chebyschev不等式,2111)1(1)|)1(1|(niininiiiXnDXnEXnP2211nDXnii21nC,1n1由极限夹逼准则知结论成立.任意事件的概率1特别地,改方差的限定条件为:设Xn独立且有相同的期望和方差2,则0,有.1)|1|(lim1niinXnP在独立和同期望、方差的条件下,n个随机变量的算术平均值当n→∞时,依概率收敛于它的期望.即存在常数C,使得DXi≤C,i=1,2,…,当n充分大时几乎不再是随机的了YY8切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则niiXn11与其数学期望niiXEn1)(1偏差很小的概率接近于1.niiXn11随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.即当n充分大时，差不多不再是切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述9,,21,ni2.设随机变量序列,相互独立，它们满足切贝谢夫大数定律,则的分布可以是________.iii,iiii1iiN,0（A）服从[]上的均匀分布.服从参数为的泊松分布.服从参数为的泊松分布.服从正态分布10贝努里大数定律设n次独立重复试验中事件A发生nA次,在每次试验中事件A发生的概率为p,则0,有:1}|{|limpnnPAn11∵令不发生次第发生次第AiAiXi,0,1AniinX1nnXnAnii11由契比雪夫大数定律得出结论E(Xi)=p,D(Xi)=p(1p)又12关于贝努利定理的说明:.,表达了频率的稳定性它以严格的数学形式率收敛于事件的概率依概生的频率贝努利定理表明事件发pnA故而当n很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.Bernoulli大数定律提供了通过试验来确定事件概率方法的理论依据,即用频率估计概率是合理的.例3设随机变量Xk(k=1,2,...)相互独立,具有同一分布:E(Xk)=0,D(Xk)=2,且E(Xk4)(k=1,2,...)存在,试证明:0,1}|1{|lim212nkknXnP[证]:令Yk=Xk2(k=1,2,...)由已知,Yk(k=1,2,...)相互独立E(Yk)=E(Xk2)=D(Xk)+E2(Xk)=2D(Yk)=E(Yk2)E2(Yk)=E(Xk4)4由契比雪夫大数定律:0,有1}|1{|lim21nkknYnP1}|1{|lim212nkknXnP15下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε0，定理3（辛钦大数定律）1}|1{|lim1niinXnP这为在不知分布的情形下,取多次重复观测的算术平均值作为EX的较为精确的估计提供了理论保证.X辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值,提供了一条实际可行的途径:则当n→时,对X的n次观察结果的算术平均值以概率收敛于X的期望值EX=.X若视Xi为重复试验中对随机变量X的第i次观察,16这一讲我们介绍了大数定律大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性17在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如,炮弹射击的落点与目标的偏差,就受着许多随机因素的影响.§5.2中心极限定理如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.中心极限定理的客观背景18观察表明,如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成,而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题:当n无限增大时,这个和的极限分布是什么呢?在什么条件下极限分布会是正态的呢？自从高斯指出测量误差服从正态分布之后,人们发现正态分布在自然界中极为常见.在一般情况下,我们很难求出X1+X2+…+Xn分布的确切形式,但当n很大时,可以求出这个和的近似分布.19由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量111()()nnkkkknnkkXEXZVarX的分布函数的极限.可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.中心极限定理这就是下面要介绍的20在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.我们只讨论几种简单情形.下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.21xttde2221设{Xi}是独立同分布的随机变量序列,定理1(独立同分布的中心极限定理))(xX～N(0,1);niiX1～N(n,n2);～N(,2/n).niiXn11nXnnii/11可近似认为:且EXi=,DXi=20,i=1,2,…niiX1n2nniiXE1niiXD1)(lim)(lim1xnnXPxFniinnnnnXXnii1的分布函数Fn(x)满足的标准化随机变量则0,n个独立同分布的随机变量,不论原来服从什么分布,当n充分大时,其和的标准化总可近似地认为是服从标准正态分布.X正是大量随机变量服从正态分布的理论解释反映了中心极限定理的客观背景22例如,}{nnbnnXnnaPP{aXb}}{1nnbnnXnnaPnkk)()(nnannb23一箱内装200瓶,所以每瓶的口服液净重为随机变量,例1用机器把口服液装瓶.由于机器会有误差,期望值为100g,标准差为10g.求一箱口服液净重大于20500g的概率.解设一箱口服液净重为X克,箱中第i瓶净重为Xi(i=1,…,200)显然诸Xi独立且同分布，且EXi=100,DXi=102(i=1,…,200).记,2001iiXX则所求概率为P(X20500),)20500(1)20500(XPXP)21002000020500(12001iiXPn=200200002010)2001500(1=0.0002.由独立同分布中心极限定理知24其平均使用寿命为20小时.使用中,当一个器件损坏后立即更换另一个新的.)20202000202020200()20000(11nnnnXnnPXPnkknkk由于每个器件的寿命Xi(i=1,2,…)为随机变量,则预算应为na元，,95.0)2000(1nkkXP解设年计划进n个这种器件,∴E(Xi)=1/依题意即求n使得例2某种器件的寿命(单位:小时)服从E(),试求在年计划中为此器件做多少预算,才可有95%以上的把握保证一年够用.已知每个这种器件的进价为a元,按2000工作小时计算查表可知且相互独立地服从E(),D(Xi)=1/2=20=1/20,=400,,05.0)20000(1nkkXP即由独立同分布中心极限定理知,)()100(nnn)100(nn0.05,n较大时,近似于0,64.1100nn解得n118,故年计划预算不应少于118a元.25例3某大型商场每天接待顾客10000人,设每位顾客的消费额(元)服从[200,2000]上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的,试求该商场的销售额(元)在平均销售额上、下浮动不超过30000元的概率解:设第k位顾客的消费额为Xk(k=1,2,…,10000)商场日销售额为X,则100001kkXX26由已知,110022000200)(kXE12180012)2002000()(22kXD100001)()(kkXEXE=100001100=11106由独立同分布中心极限定理,有:100001)()(kkXDXD12180010000227P{11×10630000≤X≤11×106+30000}}12180010030000121800100101112180010030000{6XP1)12180010030000(22(0.58)10.4428事件A发生的次数n设随机变量序列Xn相互独立,且都服从参数为p(0p1)的二点分布,则对任意的x,有=n2=n