三个正数的算术几何平均数---教案

1.1.3三个正数的算术几何平均数一、教学目标1．探索并了解三个正数的算术­几何平均不等式的证明过程．2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．二、课时安排1课时三、教学重点会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．四、教学难点会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．五、教学过程（一）导入新课已知x0，y0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.【证明】因为x0，y0，所以1＋x＋y2≥33xy20,1＋x2＋y≥33x2y0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33xy2·33x2y＝9xy.（二）讲授新课教材整理1三个正数的算术­几何平均不等式1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c33abc，当且仅当时，等号成立．2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c33abc，当且仅当时，等号成立．即三个正数的算术平均它们的几何平均．教材整理2基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋annna1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．教材整理3利用基本不等式求最值若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么时，积abc有值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和有最小值．（三）重难点精讲题型一、证明简单的不等式例1设a，b，c为正数，求证：1a2＋1b2＋1c2(a＋b＋c)2≥27.【精彩点拨】根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥33abc，结合不等式的性质证明．【自主解答】∵a0，b0，c0，∴a＋b＋c≥33abc0，从而(a＋b＋c)2≥93a2b2c20.又1a2＋1b2＋1c2≥331a2b2c20，∴1a2＋1b2＋1c2(a＋b＋c)2≥331a2b2c2·93a2b2c2＝27，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．规律总结：1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a0，b0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．[再练一题]1．设a，b，c为正数，求证：1a3＋1b3＋1c3(a＋b＋c)3≥81.【证明】因为a，b，c为正数，所以有1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3＝3abc＞0.又(a＋b＋c)3≥(33abc)3＝27abc＞0，∴1a3＋1b3＋1c3(a＋b＋c)3≥81，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．题型二、用平均不等式求解实际问题例2如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝ksinθr2.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？【精彩点拨】根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝ksinθr2，得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．【自主解答】∵r＝2cosθ，∴E＝k·sinθcos2θ40θπ2.∴E2＝k216·sin2θ·cos4θ＝k232(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤k2322sin2θ＋cos2θ＋cos2θ33＝k2108，当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝12，tanθ＝22时，等号成立．∴h＝2tanθ＝2，即h＝2时，E最大．因此选择灯的高度为2米时，才能使桌子边缘处最亮．规律总结：1．本题的关键是在获得了E＝k·sinθcos2θ4后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值．2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．[再练一题]2．制造容积为π2立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？【解】设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为πr2平方米，侧面积为2πrh平方米．设用料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.∵桶的容积为π2，∴πr2h＝π2，∴rh＝12r.∴y＝30πr2＋20rπ＝10π3r2＋1r＋1r≥10π×333，当且仅当3r2＝1r时，即r＝393时等号成立，此时h＝392.故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为393米，高为392米．当且仅当2x2＝1－x2，即x＝33时等号成立．∴y≤239，∴y的最大值为239.题型三、利用平均不等式求最值例3已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．【精彩点拨】为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×12，求出最值后再开方．【自主解答】∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤122x2＋1－x2＋1－x233＝427.规律总结：1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12x＋2－2x＋1＋x33＝12.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x＝2－2x＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术­几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．[再练一题]3．若2a＞b＞0，试求a＋42a－bb的最小值.【解】a＋42a－bb＝2a－b＋b2＋42a－bb＝2a－b2＋b2＋42a－bb≥3·32a－b2·b2·42a－bb＝3，当且仅当2a－b2＝b2＝42a－bb，即a＝b＝2时取等号．所以当a＝b＝2时，a＋42a－bb有最小值为3.（四）归纳小结平均不等式——平均不等式的理解—利用平均不等式求最值—利用平均不等式证明（五）随堂检测1．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．336B．22C．12D．1235【解析】∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥332x·22y·23z＝332x＋2y＋3z＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝23时，等号成立．【答案】C2．若a＞b＞0，则a＋1ba－b的最小值为()A．0B．1C．2D.3【解析】∵a＋1ba－b＝(a－b)＋b＋1ba－b≥33a－b·b·1ba－b＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋1ba－b的最小值为3.故选D.【答案】D3．函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________，最小值为________．【解析】∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8sin2x＋sin2x＋2cos2x33＝8×827＝6427，∴y2≤6427，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±2时取等号．∴ymax＝893，ymin＝－893.【答案】893－893六、板书设计1.1.3三个正数的算术几何平均数教材整理1三个正数的算术­几何平均不等式教材整理2基本不等式的推广教材整理3利用基本不等式求最值例1：例2：例3：学生板演练习七、作业布置同步练习：1.1.3三个正数的算术几何平均数八、教学反思