《一元二次不等式及其解法》教案

3.2.1一元二次不等式及其解法教学设计第一课时一元二次不等式及其解法（1）教材及学情分析:这节课是普通高中标准实验教科书必修5第三章《不等式》第二节，一元二次不等式及其解法，主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式模型，解不等式。这节共3个课时，这节课属于第一课时，不仅要让学生学会并且熟练地解一元二次不等式，更重要的是渗透数形结合的思想及等价转化思想。由于学生在高一上学期学习必修1第一章《集合与函数》的时候已经在计算集合交并补时见过一元二次不等式，所以学生对此并不陌生，又由于我上课的班级属于普通班，学生的层次比中加班要稍微好点，故而我想到上课大胆采用解一元二次不等式的题目引入，先由学生互相讨论解一个比较简单的不等式，我相信学生中应该有同学可以解出来，进而带着学生一起总结，在图形引领下使得解不等式更快捷。一、教学目标1.知识与技能:模仿一元二次方程得出一元二次不等式的概念，了解一元二次不等式的模型，理解三个二次间的关系，掌握一元二次不等式的解法；提高运算(变形)能力，渗透由具体到抽象思想2.过程与方法:选取两个一次因式乘积的一元二次不等式先让学生讨论解决，由学生先互相自己交流解决方法，通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想，；3.情感与价值：培养学生独立思考、合作交流的良好品质，同时使学生体会数学来源于实际生活，进而在实际生活问题中数形结合的应用以及培养学生的探索精神。二、教学重、难点重点：一元二次不等式的解法。难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系，数形结合思想渗透.三、教学流程教学环节师生互动教学预设（一）提出问题1、2230xx叫什么？2、一元二次方程如何定义的？3、那么2230xx又叫什么？4、那么同学们可以给一元二次不等式下一个定义吗？一元二次不等式的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式；学生有初中学习的一元二次方程做基础，以及不等式做铺垫，可以很自然地得到一元二次不等式的定义教学环节师生互动教学预设（二）创设情景通过让学生阅读第76页的上网问题，得出一个关于x的一元二次不等式，即250xx(x5)0x在网络知识的诱惑下，在前面3.1学习的不等关系与不等式时，已经可以列出一些实际问题的简单不等式组，在此基础上，学生可以通过交流比较顺利地得到此不等式。（三）探索研究1、下面请同学们讨论求解不等式(x5)0x2、思考：不等式250xx、二次函数25yxx、一元二次方程250xx的之间有什么关系？容易知道，方程250xx有两个实根：120,5xx由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系，知120,5xx是二次函数25yxx的两个零点。通过学生画出的二次函数25yxx的图象，观察而知，当0,5xx时，函数图象位于x轴上方，此时0y，即250xx；当05x时，函数图象位于x轴下方，此时0y，即250xx。所以，一元二次不等式250xx的解集是05xx从而解决了以上的上网问题。3、那么我们可以探讨一下一元二次不等式20(0)axbxca的解集吗？通过同学的思考估计可得出两种方法，一种代数方法看做两个数的乘积小于0，那么这两个数异号，即050xx或050xx；另一种图形，集合二次函数图形解决。思考的问题在解了上述不等式的前提下，可联系零点与方程及图像一起探讨，进而一元二次不等式20(0)axbxca的解集在讨论的过程中，首先同学想到解方程，自然有判别式的讨论；其次画图像那么就会有开口方向的讨论，进而有a的正负分类；最后得出一个相对清晰的结果，进而引导学生得出下面表格教学环节师生互动教学预设研究结论（三）如何解一元二次不等式？（举例）例1求下列不等式的解集（1）2560xx（2）40142xx学生自主通过数形结合去解决（四）总结归纳解题方法1.解一元二次不等式的步骤：①把二次项系数化为正数(化简)；②解对应的一元二次方程（解方程）；③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数图象（看图像）；④得出不等式的解集（写解集）．2.一元二次不等式的解集求法2121200,,axbxcaxxxx（）有两根（）20axbxc则的解集可记忆为“大于在两边”20?axbxc的解集可记忆为小于在中间通过以上的例题及练习的讲解，指导学生归纳解一元二次不等式的步骤。教学环节师生互动教学预设(五)练习巩固提高例2、解不等式2200xx解：整理得2200xx因为1241(20)810,方程2200xx有两个不相等的实数根125,4xx，所以原不等式的解集,5(),.(4)是例3．解不等式665222)21()21(xxxx2:566xxx2解原不等式可化为:2x260xx|60xxx原不等式的解集为或有了前面的总结，学生可以比较快地得到答案。提高能力练习1例4．若不等式222501xxmxmx对一切x恒成立，求实数m的范围.解析：合理等价变形，正确分类是解决问题关键.解：由题2225(1)40xxx则原不等式等价于210mxmx成立那么，①当0m时，10不等式成立；②当0m时，要使不等式成立，应有2040mmm，解之得：40m.这是解集为一切实数的一类问题，使得学生可以在0a0，()0fx的解集为R的问题上有所思考与提高。教学环节师生互动教学预设提高能力练习2例5.设不等式20axbxc的解集是x|23x，求不等式20cxbxa的解集.解：由02323abaca得：01116232351123623cacbc故20cxbxa的解集是{x｜13x或12x}例5在学生思考讨论起来可能部分同学会感觉困难，但是在同学老师的帮助下还是可以开一下眼界，达到一个提升能力的目的。（六）小结一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系，给出了解一元二次不等式的方法.即解一元二次不等式的步骤：先把二次项系数化成正数，再解对应的一元二次方程，最后，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.（七）作业：《课时达标检测》作业二十三。