“平方差公式”的变形与应用

“平方差公式”的变形与应用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2是七年级有理数运算中一个重要的乘法公式，也是同学们解题时常出错的难点.在进行运算时，若能根据公式的结构特征（即有一项完全相同，另一项互为相反数的两个二项式相乘，积是相同项的平方与相反项的平方的差），选择适当的方法，灵活应用公式，可使问题化繁为简，收到事半功倍的效果.一、找准a,b，正确套用例1计算(-3x-5)(3x-5).分析：两个因式中-5是相同项，3x是相反项.即-5相当于公式中的a，3x相当于公式中的b.解：(-3x-5)(3x-5)=（-5）2-（3x）2=25-9x2.二、改变系数，灵活套用例2计算（2a+4b)(a-2b).分析：观察题目的特点，将（2a+4b)提取系数2后，得2（a+2b），再观察可直接套用公式.解：（2a+4b)(a-2b)=2(a+2b)(a-2b)=2(a2-4b2)=2a2-8b2.三、巧妙组合，分组应用例3计算（a-b+c-d)(a+b-c-d).分析：两个因式中的a,d前边的符号分别相同，而b,c前边的符号分别相反，所以可进行适当的变化，再用平方差公式解决.解：（a-b+c-d)(a+b-c-d)=[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)]=(a-d)2-(b-c)2=a2-2ad+d2-b2+2bc-c2.例4计算（x-y)(x2+y2)(x+y)(x4+y4).分析：观察本题特点，可调整顺序连续使用平方差公式.解：（x-y)(x2+y2)(x+y)(x4+y4)=(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4-y4)(x4+y4)=(x4)2-(y4)2=x8-y8.四、因题而异，逆向使用例5计算（x+2y-3z)2-(x-2y+3z)2.分析：观察题目特点，可逆用公式.解：（x+2y-3z)2-(x-2y+3z)2=[(x+2y-3z)+(x-2y+3z)][(x+2y-3z)-(x-2y+3z)]=[x+2y-3z+x-2y+3z][x+2y-3z-x+2y-3z]=2x(4y-6z)=8xy-12xz.五、拆项变形，重组使用例6计算（a-b+1)(a+b-3).分析：观察式子的特点，可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式，然后利用平方差公式计算.解：（a-b+1)(a+b-3)=(a-b+2-1)(a+b-2-1)=[(a-1)-(b-2)][(a-1)+(b-2)]=(a-1)2-(b-2)2=a2-2a+1-b2+4b-4=a2-2a-b2+4b-3.