《概率论与数理统计》课后习题解答

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1《概率论与数理统计》课后习题解答习题一3.设A,B,C表示三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件:(1)A发生,B与C不发生;(2)A与B都发生,而C不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C都不发生;(5)A,B,C中至少有一个发生;(6)A,B,C中恰有一个发生;(7)A,B,C中至少有两个发生;(8)A,B,C中最多有一个发生.解:(1)CBA;(2)CAB;(3)ABC;(4)CBA;(5)CBA;(6)CBACBACBA;(7)BCACAB;(8)BCACAB或CBCABA.5.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小的号码为5的概率;(2)求最大的号码为5的概率.解:设事件A表示“最小的号码为5”,事件B表示“最大的号码为5”,由概率的古典定义得(1)121)(31025CCAP;(2)201)(31024CCBP.6.一批产品共有200件,其中有6件废品,求:(1)任取3件产品恰有1件是废品的概率;(2)任取3件产品没有废品的概率;(3)任取3件产品中废品不少于2件的概率.解:设事件iA表示“取出的3件产品中恰有i件废品”)3,2,1,0(i,由概率的古典定义得2(1)0855.0)(32002194161CCCAP;(2)9122.0)(320031940CCAP;(3)0023.0)(32003611942632CCCCAAP.8.从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字,求下列事件的概率:A表示“这三个数字中不含0和5”;B表示“这三个数字中包含0或5”;C表示“这三个数字中含0但不含5”.解:由概率的古典定义得157)(31038CCAP;158)(1)(APBP;307)(31028CCCP9.已知5.0)(AP,6.0)(BP,8.0)(ABP,求)(ABP和)(BAP.解:4.08.05.0)|()()(ABPAPABP)]()()([1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP3.0)4.06.05.0(110.已知4.0)(BP,6.0)(BAP,求)(BAP.解:314.014.06.0)(1)()()()()(BPBPBAPBPBAPBAP11.某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少?解:设事件BA,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”,依题可知3.0)()(,9.0)(BPABPAP,则所求的概率为319.03.0)()()|(APABPABP12.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨最后一个号码.(1)求他拨号不超过三次而接通的概率;3(2)若已知最后一个数字是奇数,那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少?解:设事件A分别表示“他拨号不超过三次而接通”,事件B分别表示“最后一个数字是奇数”,则所求的概率为(1)103819810991109101)(AP(2)53314354415451)|(BAP13.一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率.解:设事件iA表示“第i次取得次品”(4,3,2,1i),则所求的概率为)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP20176879210314.一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为1.0,2.0,3.0,从这10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率.解:设事件321,,AAA分别表示“产品是甲,乙,丙厂生产的”,事件B表示“产品是正品”,显然,事件321,,AAA构成一个完备事件组,且2.0102)(,3.0103)(,5.0105)(321APAPAP7.03.01)|(,8.02.01)|(,9.01.01)|(321ABPABPABP由全概率公式得83.07.02.08.03.09.05.0)|()()(31iiiABPAPBP15.甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是2.0.飞机被击中1弹而坠毁的概率为1.0,被击中2弹而坠毁的概率为5.0,被击中3弹必定坠毁.(1)求飞机坠毁的概率;(2)已知飞机已经坠毁,试求它在坠毁前只被命中1弹的概率.解:设事件iA表示“飞机被击中i弹而坠毁”)3,2,1(i,事件B表示“飞机坠毁”,显然,事件321,,AAA构成一个完备事件组,由二项概率公式计算得4008.0)2.0()(,096.0)8.0()2.0()(,384.0)8.0()2.0()(33331223221131CAPCAPCAP1)|(,5.0)|(,1.0)|(321ABPABPABP(1)由全概率公式得0944.01008.05.0096.01.0384.0)|()()(31iiiABPAPBP(2)由贝叶斯公式得407.00944.01.0384.0)|()()|()()|(31111iiiABPAPABPAPBAP16.设甲袋中装有5个红球,4个白球;乙袋中装有4个红球,5个白球.先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后从乙袋中任取一个球,求取到是白球的概率.解:设事件iA表示“从甲袋取出的2个球中有i个白球”)2,1,0(i,事件B表示“从乙袋中取出的一个球是白球”,显然,事件321,,AAA构成一个完备事件组,且29254)(CCCAPiii,115)|(iABPi,)2,1,0(i,由全概率公式得5354.09953115)|()()(202925420iiiiiiiCCCABPAPBP17.已知男子有%5是色盲患者,女子有%25.0是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?解:设事件A表示“此人是男性”,事件B表示“此人是色盲患者”,显然,事件AA,构成一个完备事件组,且5.0)()(APAP,%25.0)|(%,5)|(ABPABP由贝叶斯公式得9524.02120%25.05.0%55.0%55.0)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP18.设机器正常时生产合格品的概率为%98,当机器发生故障时生产合格品的概率为%30,而机器正常(即不发生故障)的概率为%95.某天,工人使用该机器生产的第一件产品是合格品,求机器是正常的概率.解:设事件A表示“该机器正常”,事件B表示“产品是合格品”,显然,事件AA,构成一个完备事件组,且5%30)|(%,98)|(%,5)(1)(%,95)(ABPABPAPAPAP由贝叶斯公式得984.0%30%5%98%95%98%95)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP19.三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是51,31,41,问能将密码译出的概率是多少?解:设事件CBA,,分别表示“第一人,第二人,第三人破译出密码”,显然事件CBA,,相互独立,且41)(,31)(,51)(CPBPAP,则所求的概率为53)411)(311)(511(1)()()(1)(CPBPAPCBAP20.加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是02.0,03.0,05.0和03.0.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解:设事件iA表示“第i道工序加工出次品”)4,3,2,1(i,显然事件4321,,,AAAA相互独立,且03.0)(,05.0)(,03.0)(,02.0)(4321APAPAPAP,则所求的概率为)()()()(1)(43214321APAPAPAPAAAAP124.0)03.01)(05.01)(03.01)(02.01(121.设第一个盒子里装有3个蓝球,2个绿球,2个白球;第二个盒子里装有2个蓝球,3个绿球,4个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.(1)求至少有一个蓝球的概率;(2)求有一个蓝球一个白球的概率;(3)已知至少有一个蓝球,求有一个蓝球一个白球的概率.解:设事件21,AA表示“从第一个盒子里取出的球是篮球,白球”,事件21,BB表示“从第二个盒子里取出的球是篮球,白球”,显然事件iA与jB相互独立)2,1;2,1(ji,且94)(,92)(,72)(,73)(2121BPBPAPAP,则所求的概率为6(1)95)921)(731(1)()(1)(1111BPAPBAP;(2)631692729473)()()()()(12211221BPAPBPAPBABAP;(3))()])([()](|)[(11111221111221BAPBABABAPBABABAP3516956316)()(111221BAPBABAP22.设一系统由三个元件联结而成(如图51),各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p(10p).求系统能正常工作的概率.图51解:设事件iA表示“第i个元件正常工作”)3,2,1(i,事件B表示“该系统正常工作”,显然,事件321,,AAA相互独立,且pAPi)(,则所求的概率为)()()()(])[()(32132313231321AAAPAAPAAPAAAAPAAAPBP3232132312)()()()()()()(ppAPAPAPAPAPAPAP24.一批产品中有%20的次品,进行放回抽样检查,共取5件样品.计算:(1)这5件样品中恰有2件次品的概率;(2)这5件样品中最多有2件次品的概率.解:设事件A表示“该样品是次品”,显然,这是一个伯努利概型,其中%80)(%,20)(,5APAPn,由二项概率公式有(1)2048.0%)80(%)20()2(32255CP(2)942.0%)80(%)20()(2055205kkkkkCkP1237习题二2.离散型随机变量X的概率函数为:(1)()2,1,2,,100;iPXiai(2)()2,1,2,,iPXiai分别求(1)、(2)中a的值。解:(1)121)21(22)(10010011001aaiXPiii,解得)12(21100a;(2)1122)(11001aaaiXPiii,解得31a.3.对某一目标进行射击,直到击中为止,若每次射击命中率为p,求射击次数的概率分布。解:设随机变量X表示“直接击中目标时的射击次数”,显然,X可取,2,1,故X的概率分布为:,2,1,)1()(1kppkXPk4.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t,每个设备被使用的概率为0.1,且各个设备的使用是相互独立的。求在同一时刻被使用的设备数的概率分布,并求在同一时刻:(1)恰有2个设备被使用的概率;(2)至少有3个设备被使用的概率;(3)最多有3个设备被使用的概率;(4)至少有1个设备被使用的概率。解:设随机变量X表示“在同一时刻被使用的设备数”,显然,),(~pnBX,其中1.0,5pn,故X的概率分布为5,,2,1,0,)9.0()1.0()()(555kCkXPkPkkk(1

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