概率论§2.4-随机变量函数的分布

1§2.4随机变量函数的分布在实际应用中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣。24d求截面面积A=的分布例如，已知圆轴截面直径d的分布，2方法：将与Y有关的事件转化成X的事件问题：设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？3求:(1)Y=3X+2的分布律(2)Y=(X1)2的分布律例1设离散型随机变量X的分布律为X1012P0.20.30.10.4离散型随机变量函数的分布4解:(1)X分别取值1,0,1,2时Y相应的取值互不相同:1,2,5,8故P(Y=1)=P(X=-1)=0.2P(Y=2)=P(X=0)=0.3P(Y=5)=P(X=1)=0.1P(Y=8)=P(X=2)=0.4即Y的分布律为:Y1258P0.20.30.10.45(2)Y的所有取值:0,1,4P(Y=0)=P(X=1)=0.1P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.3+0.4=0.7P(Y=4)=P(X=1)=0.2即Y的分布律为:Y014P0.10.70.26一般,设离散型随机变量X的分布律为:P(X=xk)=pk(k=1,2,…)令Y=g(X)是一元单值实函数,则Y也是一个离散型随机变量:kiyxgikpyYP)()(离散型随机变量函数分布一般求法7即Y=g(X)1212()()()~kkgxgxgxppp如果g(xk)中有一些是相同的，那么把这些相同的项合并（看作是一项），并把相应的概率相加，即可得随机变量Y=g(X)的分布律。8连续型随机变量函数的分布已知随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数)求Y=g(X)的密度函数或分布函数。方法：I从分布函数出发(分布函数求导法)II从密度函数出发(用公式)YgXI-⑴先求的分布函数YgXYgXI-⑵利用的分布函数与密度函数之间的关系求的密度函数YFyPYyPgXy()()Xgxyfxdx9例2设X～N(0,1),试求Y=eX的概率密度解:(1)y0(2)y≥0FY(y)=P(Y≤y)=P(eX≤y)2221)(xXexfFY(y)=P()=0fY(y)=FY(y)=0FY(y)=P(X≤lny)dxeyxln222110本例用到变限的定积分的求导公式:).()]([)()]([)()()()()(xxfxxfxFdttfxFxx2)(ln221)(yYeyyf0,00,21)(2)(ln2yyeyyfyY11例3设X为连续型随机变量,其概率密度为fX(x),试求X的线性函数Y=aX+b(a≠0)的概率密度解:(1)a0,得:FY(y)=P(Y≤y)=P(aX+b≤y))()(abyXPyFYdxxfabyX)(abtxdtaabtfyFyXY1)()()(1)(abyfayfXY12(2)a0令即)()(abyXPyFYdxxfabyX)(abtxdtaabtfyFyXY1)()(dtaabtfyX1)()(1)(abyfayfXY)(||1)(abyfayfXY13应用：设X~N(,2)，Y=aX+b,则11()()||YXfyfybaa222()212||ybaaeayY~N(a+b,a22)特别地，若X~N(,2)~(0,1)XYN则有14方法II（用公式）定理设X是一个连续型随机变量，其概率密度为fX(x).若y=g(x)为一严格单调函数，其反函数x=h(y)有连续导数，则Y=g(X)也是一个连续型随机变量，且概率密度为其它,0|,)(|)]([)(yyhyhfyfXY其中=min{g(),g(+)},=max{g(),g(+)}15其反函数为x=h(y)=lny.注：当fX(x)在有限区间[a,b]之外取值为零时,只需假设在[a,b]上g(x)严格单调可导,则上述定理同样成立,此时=min{g(a),g(b)}=max{g(a),g(b)}另解例2:y=g(x)=ex严格单调增且可导,2221)(xXexf16则即0,00|,)(|)]([)(yyyhyhfyfXY0,00|,1|212)(ln2yyyey0,00,21)(2)(ln2yyeyyfyY17解I：设Y的分布函数为FY(y)例4设X~/8,04()0,Xxxfx其它求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Y≤y}=P(2X+8≤y)=P{X}=FX()28y82y于是Y的密度函数()81()()22YYXdFyyfyfdy18所以可得8,816()320,Yyyfy其它注意到0x4时，()0Xfx即8y160)28(yfX此时88()216Xyyf19解II：8,816()320,Yyyfy其它181(),22yxgydxdy其反函数为其它,0,)()]([)(11ydyydgygfyfXYY=2X+8严格单调递增且可导20例5设X～N(0,1),求Y=X2的概率密度解I:y=x2在(,+)内不是单调函数(1)y≤0(2)y0FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)FY(y)=P(X2≤y)=0fY(y)=0)()(yXyPyFYdxeyyx222121即)(21)(21)(22yeyeyfyyY221yey0,00,21)(2yyeyyfyY22解II:y=x2在(,0]上严格单调减在(0,+)上严格单调增反函数反函数(,+)=(,0]∪(0,+)x(,0]时,x(0,+)时,1()hyy11()()2hyyy2()hyy21()()2hyyy23得:fY(y)0,00,21)(21)(yyyyfyyfXX0,00,212yyeyy24定理若g(x)在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段严格单调，其反函数分别为h1(y),h2(y),…均为连续函数，那么Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为:fY(y)=fX[h1(y)]|h1(y)|+fX[h2(y)]|h2(y)|+…推广形式25小结1引进了随机变量的概念，要会用随机变量表示随机事件。2给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布函数求事件的概率。3给出了离散型随机变量及其分布律的定义、性质，要会求离散型随机变量的分布律及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布。4给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间的关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。5会求随机变量的简单函数的分布。