概率论§1.5-事件独立性

§1.5事件独立性，独立试验序列则有P(B|A)=1/6=6/36=P(B)A={第一次掷出6点}B={第二次掷出6点}例1将一颗均匀骰子连掷两次，设先看几个例子：例2袋中有十张卡片，分别标有数字0,1,…9，每次从中任意抽取一张，取后放回，共取两次。A:事件“第一次取到标有奇数的卡片”B:事件“第二次取到的卡片上所标数字小于3”样本空间={(i,j)|i,j=0,1,…,9}，其中(i,j)表示“第一次取到的卡片上标有数字i,第二次取到的卡片上标有数字j”B={(i,j)|i=0,1,…,9；j=0,1,2}AB={(i,j)|i=1,3,5,7,9；j=0,1,2}试验是古典型随机试验，且，A，B，AB中包含的样本点个数分别为100，50，30，15。10310030)(,2110050)(BPAP20310015)(ABP103)()()|(APABPABP即有P(B|A)=P(B)A={(i,j)|i=1,3,5,7,9；j=0,1,…,9}从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响.这时称A,B是相互独立的.综合上面的例子有：定义（书中定义6）设A，B是两个随机事件，若P(A)0，且有如下关系式P(B|A)=P(B)则称事件B关于事件A是独立的。注意：B关于A独立的含义是事件B的概率不受附加条件“事件A已发生”的影响。等价定义定理6设A，B是两个随机事件，若P(A)0，则事件B关于事件A独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B)证明：若事件B关于事件A独立，即P(B|A)=P(B)则由乘法公式可得P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)反之，若P(AB)=P(A)P(B)，已知P(A)0则可以得到)|()()()(ABPAPABPBP推论设A，B是两个随机事件，P(A)0，P(B)0，则事件B关于事件A独立当且仅当事件A关于事件B独立。证明：由上述定理，当P(A)0，P(B)0时B关于A独立当且仅当P(AB)=P(A)P(B)当且仅当A关于B独立P(AB)=P(A)P(B)的优点该式不必用到条件概率的概念；该式在形式上关于A，B是对称的；不受P(B)0或P(A)0的制约。定义6’设A，B是两个随机事件，如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A和B是相互独立的，简称A与B独立。事件独立性的另一定义注意：作为表达更简洁、适用范围更广的定义，我们以后均采用该定义为事件之间的独立性的定义。P(A)0时，定义6’与定义6一致。独立与互斥的关系这是两个不同的概念！两事件相互独立P(AB)=P(A)P(B)两事件互斥AB=F二者之间没有必然联系互斥是事件间本身的关系例如由此可见两事件相互独立但两事件不互斥.11ABAB41)()()(21)()(BPAPABPBPAP又如：AB41)()(0)(,21)()(BPAPABPBPAP由此可见，两事件互斥但不独立。两事件相互独立两事件互斥需要注意的是，时，有当0)(,0)(BPAPA与B独立A与B相容(不互斥)或A与B互斥A与B不独立证明:(1)若A与B独立,则)()()(BPAPABP()0,()0PAPB因为()()()0PABPAPB所以AB从而可得即A与B不互斥(相容)(2)若A与B互斥，则AB=B发生时，A一定不发生。BA这表明:B的发生会影响A发生的可能性(造成A不发生),即B的发生造成A发生的概率为零，所以A与B不独立。即P(A|B)=0.能否在样本空间Ω中找到两个事件，使得它们既相互独立又互斥?答：可以找到这样的事件。想一想所以，Φ与Ω独立且互斥。，且因为FF,0)()()(FFPPP性质1必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立。证明：因为A=A,P()=1所以P(A)=P(A)=1•P(A)=P()P(A)即与A独立。因为A=,P()=0所以P(A)=P()=0=P()P(A)即与A独立。事件独立性的相关结论性质2若A与B相互独立，也相互独立则A与与B,AB,与AB证明:(1)且又P(AB)=P(A)P(B)则有:故,A与相互独立BAABABAAB)()()(BAPABPAP)()()()()()(BPAPBPAPAPBAPB(2)由对称性,与B也是相互独立的A与B相互独立,由(1)可知,也相互独立(3)AAB与注记：我们称性质2为二事件的独立性关于逆运算封闭。若1P(A)0,P(B|A)=P(B),由性质2可得,即不论事件A发生与否,事件B发生的概率都一样.)|()|()(ABPABPBP注意:判断事件的独立性一般有两种方法:①由定义判断，是否满足公式；②由问题的性质从直观上去判断。例如：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到黑色的牌}。所以可得P(AB)=P(A)P(B)解：由于P(A)=4/52=1/13,根据两事件独立的定义可知，事件A,B独立。问事件A,B是否独立？P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2，我们也可以通过计算条件概率的办法得到A和B独立的结论。续前例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到黑色的牌}。由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13，所以可得P(A)=P(A|B)这也说明A,B独立。在实际应用中，往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立。例如：一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai={第i件是合格品}，i=1,2。若抽取是有放回的,则A1与A2独立。原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结果的影响。原因是:第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。多个事件的独立性我们把两个事件间的相互独立性，推广到多个随机事件的情形,可类似地给出相关定义:定义(n个事件两两独立）如果有限个事件A1,A2,…,An(或可列无限多个事件A1,A2,…,An,…）中的任意两个事件是相互独立的，则称它们是两两相互独立的。显然，有限个事件A1,A2,…,An两两相互独立应同时满足个关系式：2nCP(AiAj)=P(Ai)P(Aj),1≤ij≤n定义(n个事件相互独立）设有n个事件A1,A2,…,An，如果对任何正整数m(2≤m≤n)个事件则称A1,A2,…,An总体相互独立,简称A1,A2,…,An相互独立。都满足关系式:)2,1(,,,2121nmniiiAAAmiiim)()()()(2121mmiiiiiiAPAPAPAAAP注意:从直观上讲，n个事件总体相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响。(1)上式包含注:个等式1232nCCCnnnnn例如，n=3时，对于三个事件A,B,C，若P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)(2)若A1,A2,…,An相互独立,则其中的m个事件也相互独立可见,总体相互独立比两两相互独立有更高的要求,即当A1,A2,…,An相互独立时,它们必两两相互独立,而其逆不一定成立例如,={1,2,3,4},A={1,2},B={1,3},C={1,4}这一古典概型:得:P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)21)()()(CPBPAP41)()()(BCPACPABP41)(ABCP说明事件A,B,C两两相互独立,但不是总体相互独立。(1≤m≤n,i1,i2,…,in为1,2,…,n的一个全排列)定理8A1,A2,…,An相互独立,则也相互独立nmmiiiiiAAAAA,,,,,121注意:在实际应用中,对于n个事件的相互独立性,我们往往不是根据定义来判断,而是根据实际意义来加以判断的例1三人独立地去破译一份密码,已知每个人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解：将三人分别编号为1,2,3，故，所求为P(A1∪A2∪A3)记Ai={第i个人破译出密码}，i=1,2,3。已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4，可得P(A1∪A2∪A3))(121nAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP.6.0)4/3()3/2()5/4(1且A1，A2，A3相互独立例2有三批种子,发芽率分别为0.9,0.8,0.85,在这三批种子中各任取一粒,求取得的三粒种子中至少有一粒能发芽的概率。解:A:“取得的三粒种子中至少有一粒能发芽”Ai:“由第i批种子中取出的一粒种子能发芽”(i=1,2,3)则事件A1,A2,A3相互独立，且A=A1∪A2∪A3=1(10.9)(10.8)(10.85)=0.997)(1321AAAP有:P(A)=P(A1∪A2∪A3))(1321AAAP)()()(1321APAPAP独立试验概型（贝努里概型）在实际问题中，常常需要将一个随机试验重复进行若干次(比如n次),如果各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率不受其它各次试验结果的影响，则称这n次试验为n次重复独立试验。例如,n次掷硬币试验,n次有放回摸球试验，等等。A、其中则称这个试验为贝努里试验,它的n次重复独立试验称为n重贝努里(Bernoulli)试验.A)10(1)(,)(ppAPpAP定义若一个随机试验只有两种结果:n重贝努里试验具有以下特点:(1)每次试验有且只有两个可能结果：成功、失败;(2)每次试验中每个结果出现的概率不变;(3)试验之间相互独立;(4)在相同条件下，试验可以重复进行。定理（二项概率公式）在n重贝努里试验中，事件A恰好发生k次的概率为同时有),,2,1,0()1()(nkppCkPknkknn1)(0nknkP,发生的次数重伯努利试验中事件表示若AnX所有可能取的值为则X.,,2,1,0n推导如下：,)0(时当nkkX.次次试验中发生了在即knA次kAAA,次knAAA次1kAAAAA次1knAAA次的方式共有次试验中发生在得knA,种knC且两两互不相容.称上式为二项分布.记为).,(~pnBX次的概率为次试验中发生在因此knAknkknppC)1(pq1记knkknqpC例1同时掷四颗均匀的骰子,试计算:(1)恰有一颗是6点的概率;(2)至少有一颗是6点的概率.每次基本试验中6点出现的概率是1/6，所以(1)恰有一颗是6点的概率为(2)至少有一颗是6点的概率为11411134441115(1)()(1)()()6666PCC400400044444111155()1()(1)1()()1()66666kPkCC解：这是一个4重贝努里试验,掷每一颗骰子就是一个基本试验。例2设有八门火炮独立地同时向一目标各射击一发炮弹。若有不少于2发炮弹命中目标时，目标算作被击毁。如果每门火炮命中目标概率为0.6，求击毁目标的概率p是多少?解：设一门炮击中目标为事件A,则有P(A)=0.6则991.04.06.04.06.0171188008CC)1()0(1)(88828PPkPpk例3设某考卷上有10道选择题，每道选择题有4个可供选择的答案，其中一个为正确答案。今有一考生仅会做6道题，其余4道题不会做，于是随意填写，试问该考生能碰对m（m=0,1,2,3,4）道题的概率。解：设Bm表示4道题目碰对m道这一事实，则4,3,2,1,0,)43()41()(44mCBPmmmm经计算可得0039.0)(,048.0)(,211.0)(,422.0)(,316.