3.1二维随机变量

1第三章多维随机变量及其分布2一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.本章内容是第二章内容的推广33.1二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量4一、二维随机变量及其分布我们常常需要同时用几个随机变数才能较好的描绘某一试验或现象炮弹在地面的命中点的位置是由两个随机变量来确定例如,飞机在空中的位置由三个随机变量来确定5定义:二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究.设随机试验E的样本空间,X和Y是定义在上的随机变量,由它们构成的向量(X,Y),称之为二维随机变量或二维随机向量6分布函数F(x,y)表示{X≤x}和{Y≤y}同时发生的概率定义:设(X,Y)是二维随机变量,x,yR,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为(X,Y)的分布函数,或称为X和Y的联合分布函数为此,首先需要引入二维随机向量(X,Y)的分布函数的概念.)()(xXPxFxX的分布函数一维随机变量X7分布函数F(x,y)在(x0,y0)处的函数值F(x0,y0)表示平面上随机点(X,Y)落在无限矩形区域D:X≤x0,Y≤y0内的概率分布函数的几何意义:oxy(x0,y0)D8由上面的几何解释,易见:随机点(X,Y)落在矩形区域:x1x≤x2,y1y≤y2内的概率说明),(,),(),(,111221222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP9F(x,y)的性质:(1)0≤F(x,y)≤1(2)F(x,y)分别对x和y单调不减即:yR,当x1x2时,F(x1,y)≤F(x2,y)xR,当y1y2时,F(x,y1)≤F(x,y2)∵F(x2,y)F(x1,y)=P{X≤x2,Y≤y}P{X≤x1,Y≤y}=P{x1X≤x2,Y≤y}≥010(3)F(,y)=0F(x,)=0F(,)=0F(+,+)=1(4)F(x,y)关于变量x或y右连续);,(),(lim),0(000yxFyxFyxFxx).,(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy即11如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列无限多对时,称(X,Y)是二维离散型随机变量定义:二、二维离散型随机变量12设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)(i,j=1,2,…),称P{X=xi,Y=yj}=pij为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布律,或称为X与Y的联合分布律定义:,)(kkpxXPk=1,2,…离散型一维随机变量X,0kpkkp1k=1,2,…X的概率分布ijijijpjip1,2,1,,013也可用表格表示:XYy1y2…yj…x1x2…xi…p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………14二维分布律与二维分布函数设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为piji=1,2,;j=1,2,.于是(X,Y)的分布函数yyxxjijiyYxXPyYxXPyxF,,},{),(xxyyijxxyyjiijijpyYxXPyxF,),(15xxyyijijpyxF),(16例1将两个球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.令X:放入1号盒中的球数;Y:放入2号盒中的球数求(X,Y)的分布律解:X的可能取值为0,1,2Y的可能取值为0,1,2P{X=0,Y=0}=;91312P{X=0,Y=1}=;92322P{X=0,Y=2}=;91312P{X=1,Y=0}=;9232217P{X=1,Y=1}=;92322P{X=1,Y=2}=P()=0;P{X=2,Y=0}=;91312P{X=2,Y=1}=P()=0;故(X,Y)的分布律为:XY0120121/92/91/92/92/901/900P{X=2,Y=2}=P()=018例2设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能的取值,另一个随机变量Y在1～X中等可能的取一整数值,求(X,Y)的分布律解:X的可能取值i为1,2,3,4Y取不大于X的正整数j当ij时,当i≥j时,pij=P{X=i,Y=j}pij=P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=0ii4114119故(X,Y)的分布律为:XY123412341/40001/81/8001/121/121/1201/161/161/161/1620例３设随机变量(X,Y)的分布律为:XY1.52.53.512340.10.050.100.150.20.050.050.050.1500.1求P{|X-Y|=0.5}21解：满足条件|X-Y|=0.5的(X,Y)的所有可能的取值为(1,1.5),(2,1.5),(2,2.5),(3,2.5),(3,3.5),(4,3.5).因此，所求概率即为(X,Y)在这些点上取值的概率的和，即P{|X-Y|=0.5}=0.1+0+0.15+0.05+0.05+0.1=0.4522设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,若存在非负函数f(x,y),使x,y,有:定义:则称(X,Y)是二维连续型随机变量,f(x,y)为二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数,或称为X与Y的联合概率密度dudvvufyxFyx),(),(三、二维连续型随机变量23yxdudvvufyxF),(),(24f(x,y)的性质:(1)f(x,y)≥0(2)(3)D为xOy平面上的一个区域,则点(X,Y)落在D内的概率为:(4)若f(x,y)在点(x,y)连续,则有:1),(dxdyvufdxdyyxfDYXPD),(}),{(),(),(2yxfyxyxF25badxxf)(连续型一维随机变量XX的密度函数1)(dxxf0)(xf}{bXaP二维随机变量（X,Y）连续型),(yxfX和Y的联合密度函数0),(yxf1),(dxdyyxfdxdyyxfA),(}),{(AyxP2A26求:(1)常数C(2)(X,Y)的分布函数(3)P{0X≤1,0Y≤2}例4设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其它,00,0,),()43(yxCeyxfyx解:(1)C=12=11),(dxdyyxfdyedxeCyx040312C27(2)当x0,y0时:=(1e3x)(1e4y)dudvvufyxFyx),(),(dudveyxFyxvu00)43(12),(dvedueyvxu040312当x,y为其它情形时:F(x,y)=0其它,00,0),1)(1(),(43yxeeyxFyx28注:“其它情形”不能写成“x≤0,y≤0”,并不同于一维分布(3)P{0X≤1,0Y≤2}=F(1,2)F(1,0)F(0,2)+F(0,0)=(1e3)(1e8)dxdyyxfyx20,10),(或dxdyeyx2010)43(12dyedxeyx2041031229o1x例5设随机变量(X,Y)的概率密度为:求(X,Y)的分布函数解:y2(1)x≤0或y≤0时:F(x,y)=0dudvvufyxFyx),(),(其它,020,10,31),(2yxxyxyxf30(2)0x≤1,0y≤2时:(3)0x≤1,y2时:dudvvufyxFyx),(),(dudvuvuyx002)31(22312131yxyxdudvvufyxFyx),(),(0)31(2002dudvuvux31(4)x1,0y≤2时:2)12(31xxdudvvufyxFyx),(),(0)31(0102dudvuvuyyy)4(121(5)x1,y2时:=1dudvuvuyxF20102)31(),(322,1,120,1),4(1212,10),12(3120,10),41(3100,0),(22yxyxyyyxxxyxyxyxyxyxF或综合得:33例6一个电子器件包含两个主要元件，分别以Ｘ和Ｙ表示这两个元件的寿命（以小时计），设(X,Y)的分布函数为求（１）(X,Y)的概率密度函数；（２）两个元件的寿命都超过120小时的概率其它,00,0,1),()(01.001.001.0yxeeeyxFyxyx34解：(1)直接验证可知Ｆ(x,y)是连续型的二维随机变量的分布函数，由性质４可知：，其它0,0,0,01.0),(),()(01.022yxeyxyxFyxfyx.09.001.001.0}120,120{)2(1204.201.012001.02120120)(01.02edyedxedxdyeYXPyxyx35(1)二维均匀分布设D为xOy平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为:则称(X,Y)服从D上的均匀分布其它,0),(,1),(DyxAyxf常见二维连续型分布36解:例７设(X,Y)服从圆域x2+y2≤4上的均匀分布.计算P{(X,Y)A},这里A是图中阴影部分的区域圆域x2+y2≤4的面积d=4区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的三角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积=0.5∴P{(X,Y)A}=0.5/4=1/837其中1,2,1,2,都是常数,且10,20,11,则称(X,Y)服从参数1,2,1,2,的二维正态分布(2)二维正态分布若二维随机变量(X,Y)的概率密度为：记为(X,Y)～N(1,2,12,22,)(x+,y+)])())((2)([)1(212212222212121212121),(yyxxeyxf38二维正态分布(X,Y)的概率密度函数f(x,y)满足:1),(dxdyyxf性质21212)(11121)(:),(:)(xexfdyyxfxf则令(1)(2)