6.3抽样分布定理

16.3抽样分布定理一、单个正态总体的抽样分布定理二、两个正态总体的抽样分布定理2一、单个正态总体的抽样分布定理定理6.1设12,,,nXXX是来自正态总体2(,)N的一个样本，X是样本均值，则（1）X～2(,)Nn（2）nX/～)1,0(N证明X是n个相互独立且与总体同分布的正态变量的线性组合，由正态变量的性质知，X仍为正态变量，且X的分布由它的均值与方差完全确定，按均值与方差运算性质31111nniiiEXEXnn22221111()nniiiDXDXnnn2~(,)XNn于是从而nX/)1,0(N～4n取不同值时样本均值的分布X5定理6.2设12,,,nXXX是来自正态总体2(,)N的一个样本，X与2S分别是样本均值和样本方差，则1．22(1)nS～2(1)n；（6.24）2．X与2S相互独立．6n取不同值时的分布22)1(Sn7定理6.3设12,,,nXXX是来自正态总体2(,)N的一个样本，X与2S分别是样本均值和样本方差，则XSn～(1)tn．（6.25）8证明根据定理6.1及定理6.2Xn～(0,1)N，22(1)nS～2(1)n，且二者独立，由t分布的定义知22(1)(1)XnSnn～(1)tn，化简上式左边即得（6.25）式．9定理6.4设1,,,21nXXX与2,,,21nYYY分别是来自正态总体211(,)N与222(,)N的样本，且二者相互独立．再设X与Y分别是这两个样本的样本均值，21S与22S分别是这两个样本的样本方差，则1．当22212时，121212~211XYtnnSnn（6.26）二、两个正态总体的抽样分布定理10其中2SS222112212112nSnSSnn；2．22122212SS～12(1,1)Fnn.3.YX～),(22212121nnN11证明1．因为211~(,)XNn，222~(,)YNn，且X与Y独立，则221212~(,)XYNnn，于是有U1212~0,111XYNnn．12又由给定条件及及定理6.2知2112121~1nSn，2222221~1nSn，且它们相互独立，又按2分布的可加性知2211222211nSnSV～2122nn．由X与21S独立和Y与22S独立可知U与V独立13按t分布的定义即得12121212~211/2XYUtnnVnnSnn142．因为21121211~1nSn，22222221~1nSn，且它们相互独立，按F分布的定义即得21112221211222222122221/1~1,11/1nSnSSFnnnSn