概率论与数理统计必会

1概率论与数理统计总复习•一、内容提要•二、典型例题2随机试验可能结果基本事件Ai不含任何ωAi任何组合iiA事件AΩΦ不可能必然完备事件组Ai0)(ijiApjiAAiiA等概完备事件组nAPi1)(ni,2,1贝努利试验独立试验概型只有两个可能结果n次重复古典概型条件：n次试验中A发生k次nkqpCkXPknkkn,,2,1pAP)(B由其中m个事件组成公式nmBP)(（一）概念之间的关系一、随机变量与概率31、运算关系包含：A则B相等：A=B和：至少有一个发生AUB积：同时发生ABBAABBA且ABSABA、B不相容BAA、B对立记为AB差：A－BB=S－A（二）事件的关系4除与一般代数式运算相同的法则以外，注意1）对偶律2）其他3）独立性事件的独立性是由概率定义的；n个事件的独立性要求:ABABABAB()()ABCABAC21nn个等式成立。（三）解题方法1、一般概率1）利用两种概型10古典20n重贝努利概型2）利用事件间的运算2、运算法则AAAAAAA5化为事件的和利用对立事件A、B相互独立分解到完备组中：全概公式利用随机变量及其分布计算。()PAB)()()(ABPBPAP)()(BPAP一般情况AB11PABPABPAB化为事件的积)(ABP)|()(ABPAP)()(BPAP一般情况1/nkkkPAPBPAB12,,,nBBB是完备组，62）用乘法公式1）在缩减完备组中计算，方法同1。3）用贝叶斯公式2、条件概率)()()/(APABPABP(|)kPBA(1,2,,)kn()()kPABPA1()(|)nkkkPBPAB()(|)kkPBPAB7一实数值X(ωi),（一）随机变量的定义对于随机试验E的每一个可能结果ωi,的变量，则称实数变量X(ωi)为一个随机变量，简记为X。注意：1、X是定义在随机试验结果的集合{ωi}上按试验的不同结果而取不同的值.取值是随机的.2、在一定的试验下，二、随机变量及其分布都唯一地对应着因此X的可以依据我们所关心的结果的数值特征选取X所代表的具体意义。3、X的引入使我们便于研究随机试验的全貌，并使用分析的工具。81、离散型随机变量随机变量X的取值可以一一列举（有限或无限）定义分布律（分布列）表示法称X为离散型随机变量。（二）随机变量的分布及性质,2,1kpxXPkk公式法列表法nkknkpppppxxxxX2121性质,2,10.1kxXPknkkp11.29定义对于随机变量X，若存在非负函数xduufxXPxF)()()(＝＝，使对任意实数则称X为连续型随机变量，Xxf为的密度.都有,xf(x)0x1其图形：.1)(＝dxxf,0xxf(2)归一性(1)非负性密度函数的性质2、连续性随机变量),()(xxf212121)()()3(xxxxdxxfxxxP103、分布函数)()(xXPxF)(x为X的分布函数.记作设X是一个随机变量，称.~xFX定义分布函数的性质1、单调不减性：;1)(lim)(,0)(lim)(xFFxFFxx000()lim()().xxFxFxFx3、右连续性：对任意实数，2、归一性：若x1x2,则F(x1)F(x2);对任意实数x，0F(x)1，且0x111）分布函数的值表示了X落在2）离散型：若分布函数的几点说明)(xF是一个普通的函数，在)(xFx处),(x内的概率。,3,2,1kpxXPkkxxkkpxFxxkkxXPx由于xF是X取的诸值的概率之和，故又称为累积概率函数.xF图形特点：是一条有跳跃的上升阶梯形曲线。xF1xkx3x2xxkp3p2p1p1kx123）X为连续性随机变量f(x)0xx)(xF1221)(xFxFxXxP＝21)(xxtdtf＝21xx在的连续点处，xfxFxff(x)x01x2xxdttfxXPxF)()()(133）把Y的分布用表（离散型）或Y的密度（连续性）1、问题：若YX,之间的事件等价关系。关系和分布函数关系。是随机变量，表述出来。其中已知X的分布，求的分布。2、基本方法4、随机变量函数的分布).(XY)(xy是x的函数。)(XY研究1）由)(XYYX,2）由YX,之间的事件的关系再求YX,之间的分布3、具体讨论14则当若X的分布律.,,2,1nkpxXPkk).(XY))((kkxYyY)(jiyyji)(kkxXyYkkpyYPllkkyxxy)()(当则)()(lkkxXxXyYlklKkppxXPxXPyYP)()(lk1）离散型kiyxgikpyYP)()(推广得：15及有关函数表述出来。求)}({})({}{yhXyXgyY其为等价的事件).(YhX将()Fy用[()]Fhy利用求出Y的密度函数。2）连续性设X是一个取值于区间ba,具有概率密度其他0)(bxaxxf的连续型随机变量，XgY)(yf)()('yfyF其他0)()())(()(''yyhyhyhFyf16性质：（一）二维随机变量（X,Y)的分布函数yx,定义对于任意实数二元函数称为二维随机变量（X,Y)的分布函数的联合分布函数。或称为X和Y三、二维随机变量及其分布},{),(yYxXPyxF,1),(0yxF;0),(yF;0),(xF.1),(;0),(FF2.且yxF,.1是变量的不减函数。yx,2121yXyxXxP，1222yxFyxF，，1121yxFyxF，，17YX,（二）离散型的所有可能取值为,2,1,),(jiyxji设则jijipyYxXP},{,2,1,ji和Y的联合分布列。),(YX称为二维随机变量的分布列，或随机变量X：性质10jiijyYxXPp，有：性质2，，，，，对任意的21jiji（非负性）（归一性）1jijipxxyyijiipyYxXPyxF},{),(的联合分布函数为，，则YX18二维离散型随机变量的联合分布列下表表示的联合分布列也可以由，YXXYy1y2…yj…p11p12...P1j...p21p22...P2j...pi1pi2...Pij...........................x1x2xi关于Y的i边缘分布1()PYy()jPYy关于X的边缘分布j11()pXxp()iipXxp19（X,Y)的边缘分布),(YXjijipyYxXP},{,2,1,ji1}{jjiipxXP,2,1i设的分布列为:),(YXX则关于的边缘分布列为1}{ijijpyYP,2,1j1jjiipp,2,1i1ijijpp,2,1j),(YXY关于的边缘分布列为：分别记20(三）连续型总有),(YX,),(yxF),(yxfyx,yxdvduvufyxF),(），（的联合概率密度。),(yxfXY),(YX其具有以下性质：定义设二维随机变量的分布函数为，对任意实数为的概率密度，或称为随机变量和对于非负可积的函数0),()1(yxf（非负性）（归一性）),(),()3(2yxfyxyxFGdxdyyxfGYXP）（,}),{()4(1),(),()2(Fdyyxfdx21的关于X和Y的边缘概率密度。定义设),(YX),(yxf是的联合密度函数，则分别是),(YX边缘概率密度dxyxfyfY),()(dyyxfxfX),()(22均有),(YXyx,}{}{},{yYPxXPyYxXPXY（四）两个随机变量的独立性若二维随机变量对任意的实数成立，则称随机变量与是相互独立的。若记yYBxXA且BPAPABP成立，可见X，Y相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。判断X，Y相互独立的办法：}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP)()(),(yfxfyxfYX23),,,,(~222121N),(YX其的概率密度为2222212121212)()()(2)()1(21221121),(yyxxeyxf的边缘概率密度分别为YX,21212)(121)(xXexfx22222)(221)(yYeyfy)()(),(yfxfyxfYX024四、随机变量的数字特征（一）数学期望EX定义EX1nkkkxpX为离散型X为连续型若)(XYEY1()nkkkxpX为离散型()()xpxdxX为连续型.,,2,1nkpxXPkkX为离散型其分布列为X为连续型其密度函数为).(xfdxxfx)(25若（X,Y)有联合密度dxxxfdyyxfxdxXEX)(),()(dyyyfdxyxfydyYEY)(),()().,(yxf),(YXZdyyxfyxdxZE),(),()(26期望的性质nEXEXEXXXXE2121)(nXXX,,,211[()]nkkkECXbCEC.1其中C为常数。2.对于任何常数1,2,,.kCkn及b.1()nkkkCEXnb3.若相互独立，则27knkkpEXx12)(定义2)(EXXEDX计算公式（二）方差.,,2,1nkpxXPkkX为离散型其分布列为X为连续型其密度函数为).(xfDXX为离散型X为连续型22)()(EXXEDXDXEXXE22)()(dxxfEXx)()(22812,,,nXXX2121)(DXDXXXD1[()]nkkkDCXb0.1Dk其中k为常数。3.对于任何常数.,,2,1nki及b.21nkkkCDX相互独立，则方差的性质DXkkXD2)(.2DXkbkXD2)(29均匀分布泊松分布二项分布0-1分布参数范围方差均值概率分布名称kkqpkXP1)(.1,0k()kknknPXkCpq.,2,1,0nk()!kePXkk.,2,1,0nkotherbxaabxp01)(npnpq10ppq10ppq10ppq12ba12)(2abba(三)常用的六个分布~(,)XBnp),(~baUX~()X指数分布000)(xxexpx0121)(~EX~(1,)XBp30标准正态分布参数范围方差均值概率分布名称01(三)常用的六个分布)1,0(~NX正态分布),(~2NX2任意022()21()2xpxex221()2xxex31称为标准化的随机变量，有2、正态分布随机变量函数的标准化.n.1knkknqpCkXP)(),(~2NX!keknp)1,0(~2NXX)(x表