1.1随机事件、频率与概率

1概率论与数理统计主讲人：刘新玲联系方式：13036211233E-mail：[e-mail]21654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(ac),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望.概率论的诞生及应用1.概率论的诞生3在生活当中,经常接触到事件的概率降水概率为30%；某强队对弱队赢球的概率为80%；比如:4为什么要学习概率与数理统计?因为概率与数理统计应用广泛:例如:(1)体育彩票数据需检验(a)每个数字被选中的机会是等可能的;(b)每个数字被选中是相互独立的.（2）自动生产线的控制:（可口可乐）抽样、检验、调试5(4)经济、保险;管理决策;生物医药;工业(工艺方案等);农业(试验设计等);等等例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查;在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等（3）金融、债券与风险管理（金融工程师、精算师）企业管理等等;61.1随机事件、频率与概率一、样本空间与随机事件二、事件的关系及运算三、频率和统计规律性7在我们所生活的世界上，充满了不确定性从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化……，我们无时无刻不面临着不确定性（随机性）.8从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西.他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性.9将不定性（随机性）数量化，来尝试回答这些问题，是直到20世纪初叶才开始的.还不能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命.10了解事件发生的可能性即概率的大小,对人们的生活有什么意义呢?例如:了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小,合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小,合理确定堤坝高度.11确定性现象:一定发生的现象:在一定的条件下,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,而且在事先无法预知确切结果的现象随机现象自然界的现象:例如,自由落体运动太阳不会从西边升起例如,车站等车人数新生的婴儿可能是男或女12结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.实例2“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.实例1“用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况”.结果:“弹落点会各不相同”.13实例3“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.其结果可能为:正品、次品.实例4“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.实例5“一只灯泡的寿命”可长可短.14随机现象的特征条件不能完全决定结果说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量重复试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.15随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?161.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验总是恰好出现所有可能结果中的一个，但是在试验之前不能确定哪一个结果会出现.定义在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.随机试验17说明1.随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”、或“测量”等.实例“抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况”.分析2.随机试验通常用E来表示.(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;181.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.2.“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验(2)试验的所有可能结果:正面，反面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.193.记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.4.考察某地区10月份的平均气温.5.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.20样本空间:试验的所有可能结果组成的集合记为样本点:样本空间的元素即随机试验的单个可能结果记为注：由随机试验的定义知，所有的样本点是已知的样本空间与随机事件21例如,掷一枚硬币观察正、反面出现的情况:一次试验就是掷一次硬币试验的可能结果有两个:正(正面朝上)、反(反面朝上)即有两个样本点:正、反这个随机试验的样本空间为:{正、反}22例如,测量灯泡寿命:样本点是一非负数,由于不能确知寿命的上界,所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果,则样本空间:={t:t≥0｝23例如，从包含两件次品(a1,a2)和三件正品(b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:例如拿出的两件是a1、b1这就是一个样本点,记为{a1,b1}样本空间为:具体拿出两件就是一次试验={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}24把样本空间的任意一个子集称为一个随机事件,简称事件可见,随机事件是由试验的若干个结果组成的集合，每一个样本点也可以组成一个随机事件(基本事件）。记作A、B、C等随机事件：25在上例中,令表示事件:“没有抽到次品”表示事件:“恰好抽到一件次品”A={{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}B={{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3}}26在试验中,当事件中的一个样本点出现时,称这一事件发生上例中,事件A发生当且仅当A中所含的3个样本点之一出现;事件B发生当且仅当B中所含的6个样本点之一出现27必然事件:在每次试验中必然出现的事件,记为不可能事件:一定不出现的事件,记为两个特殊的事件：例如,在掷骰子试验中:是必然事件是不可能事件“掷出点数小于7”“掷出点数8”28事件的关系及运算对应集合的关系和运算来定义事件的关系及运算,并根据“事件发生”的含义,来理解它们在概率论中的含义29B1.子事件包含事件A发生必有事件B发生,称B包含AA显然A相等AB且BAA=B:AB:302.和事件:事件A和B至少有一个发生AB显然,A∪=AA∪=A∪B313.积事件:事件A与B同时发生简写ABAB显然,A∩=A∩=AA∩B324.互斥事件(互不相容):事件A与B是互斥的,或互不相容的AB互斥的事件不可能在一次试验中同时发生A∩B=335.差事件:事件A发生而B不发生AB显然,AA=A=AA=AB346.逆事件(对立事件)：A不发生A显然,AAAAAAAAABABA35事件的和与积可推广到有(无)限个事件的情形：A1,A2,…,An,…中至少有一个发生A1,A2,…,An,…同时发生:1kkA:1kkA36注:互斥与互逆:AB若A∪B=,则A与B互逆互逆一定互斥若A∪B,则A与B不是互逆的A∩B=A与B互斥37事件的运算1、交换律:A∪B=B∪AAB=BA2、结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A(BC)3、分配律:(A∪B)C=(AC)∪(BC)(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)384、对偶律:可推广:BABABAABkkkkAAkkkkAA39A1:“至少有一人命中目标”:A2:“恰有一人命中目标”:A3:“恰有两人命中目标”:A4:“最多有一人命中目标”:A5:“三人均命中目标”:A6:“三人均未命中目标”:例1甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标,试用A、B、C的运算关系表示下列事件:ABCCBACBACBABCACBACABBACACBCBAA∪B∪C40频率和统计规律性研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些事件,更重要的是想知道事件出现的可能性大小,也就是事件的概率41为事件A在这次试验中发生的频率定义:频率事件A在相同条件下进行的n次试验中发生了m次,称记为fn(A)nm1.事件的频率42频率的性质：(1)0≤fn(A)≤1(2)fn()=1,fn()=0(3)若事件A1,A2,…,Ak两两互斥,则kiinkiinAfAf11)()(43再进一步找出事件发生的规律:从例表（1-2）中可见,在相同条件下,当试验次数较少时,事件的频率较不稳定,当试验次数逐渐增大时,事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.频率的这种稳定性,即统计规律性,说明了一个事件发生的可能性有一定的大小可言44考虑在相同条件下进行的S轮试验.第二轮试验试验次数n2事件A出现m2次第S轮试验试验次数ns事件A出现ms次试验次数n1事件A出现m1次第一轮试验事件A在各轮试验中频率形成一个数列我们来说明频率稳定性的含义.………,11nm,22nmssnm,…45指的是：当各轮试验次数n1,n2,…,ns充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某个平均值相差甚微.11nmssnm22nm频率稳定在概率p附近频率稳定性46频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率就会非常接近一个值----概率.因此，概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似.47这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，这种确定概率的方法称为频率方法.在实际中，当概率不易求统计概率称此概率为48例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.49设在同一组条件下,重复进行了N次随机试验.当N很大时,某一随机事件A发生的频率FN(A)=2.事件的概率稳定地在某一常数p的附近摆动,则称该常数p(频率的摆动中心)为随机事件A的概率,记作P(A)=p统计定义:Nn50统计概率的性质：(1)非负性:对任一事件A,有0≤P(A)≤1(2)规范性:对必然事件,有P()=1(3)有限可加性:若事件A1,A2,…,An两两互斥,则nkknkkAPAP11)()(51统计概率的定义中，虽然没有提供直接确定概率的方法，但是当试验次数较大的时候，事件A发生的频率可以作为P(A)的一个估值。虽然这个估值是经过大量的试验得出的结果，但是还是不能保证一定得到了P(A)的精确值。52思考:射击3次,事件Ai表示第i(i=1,2,3)次命中目标,则事件()表示至少命中一次(A)A1∪A2∪A3(B)A1∪(A2A1)∪[(A3A2)A1](C)(D)321AAA321321321AAAAAAAAA显然成立=(A)表示没有命中一次表示仅有一次C