1.4条件概率及有关公式

11.4条件概率及有关公式一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式四、贝叶斯公式2一、条件概率的定义及性质例,设10张彩票中只有一张中奖票,10人同时摸这10张,张三和李四各得一张记A:{张三中奖}B:{李四中奖}由古典概率模型知:101)()(BPAP现在设李四先刮开彩票,已知李四有没有中奖的信息对计算张三中奖的的可能性大小有没有影响?3显然,如果李四中奖,那么张三就没有机会中奖也就是说:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率为0,记P(A|B)=0如果已知李四没中奖,张三中奖的机会有多大?也就是说:在事件B没发生的条件下,事件A发生的概率为多少?91)|(BAP4在“事件B已发生”的条件下,事件A发生的概率称为B条件下A的条件概率,记为P(A|B)定义:)0)(()()()|(BPBPABPBAP若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有:ABAB中样本点的个数中样本点的个数BABBAP)/(5分析::n个样本点B:m个样本点AB:k个样本点在B已发生的条件下,试验结果为m中的一个,这时A发生当且仅当AB中的某一样本点发生,故相当于“缩小了样本空间”)()(//)|(BPABPnmnkmkBAP6条件概率的性质:(1)非负性:0≤P(A|B)≤1(2)规范性:P(|B)=1(3)可列可加性:若Ak(k=1,2,…)两两互斥,则11)|()|(kkkkBAPBAP另有:)|(1)|(BAPBAPP(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)P(A1A2|B)72)从加入条件后改变了的情况去算条件概率的计算1)用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0掷骰子例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}P(A|B）=31B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数8例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1:)()()|(BPABPBAP解法2:2163)|(BAP解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算213663639例2设某厂生产的灯泡能使用1000小时以上的概率为0.9,能使用1500小时以上的概率为0.3,如果有一个灯泡已经使用了1000小时没有损坏,求它能使用1500小时以上的概率解:A:“灯泡能使用1000小时以上”B:“灯泡能使用1500小时以上”由已知:P(A)=0.9,P(B)=0.310又BA所求:P(AB)=P(B)=0.3319.03.0)()()|(APABPABP11条件概率P(A|B)与P(A)的区别每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.12由条件概率的定义：即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2))()()|(BPABPBAP而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率13推广到一般情形中:若n个事件A1,A2,…,An满足条件：P(A1A2…Ak)0(k=1,2,…,n1),则：P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An1)14例3甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产B={零件是乙厂生产}设：A={是标准件}15若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A|B).B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.16例4设袋中装有a只红球和b(b≥3)只白球,从中连续取球四次,每次取一球,取后不放回,试求第四次才取到红球的概率解:Ai:“第i次取到白球”(i=1,2,3,4)则:“第四次取到红球”:“第四次才取到红球”4A4321AAAAbabAP)(117故:11)|(12babAAP22)|(213babAAAP3)|(3214baaAAAAP)(4321AAAAP)|()|()|()(3214213121AAAAPAAAPAAPAP32211baababbabbab18一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确实吃亏吗？19到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”20我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/51A第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，iA则表示“第i个人未抽到入场券”21因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA由于由乘法公式计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/522)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，23全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0三、全概率公式和贝叶斯公式24niiiBAPBPAP1)|()()(全概率公式设B1,B2,…,Bn是n个互不相容的事件,且P(Bi)0(i=1,2,…,n),若则niiBA1AnABABABA21B1B2B3对求和中的每一项运用乘法公式得25定义B1,B2,…,Bn为样本空间的一个划分:(1)B1,B2,…,Bn两两互不相容(2)niiB1或称B1,B2,…,Bn为完备事件组设为样本空间，26在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算.niiiBAPBPAP1)()()(｜全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:27某一事件A的发生有各种可能的原因Bi(i=1,2,…,n)，如果A是由原因Bi所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解28由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.B1B2B3B4B5B6B7B8A诸Bi是原因A是结果29例5有三个形状相同的罐,在第一个罐中有2个白球和1个黑球,在第二个罐中有3个白球和1个黑球,在第三个罐中有2个白球和2个黑球,现任取一罐,从中取出一球,试求取得白球的概率解:A:“取到的是白球”Bi:“球取自第i罐”(i=1,2,3)则B1,B2,B3是样本空间的一个划分30由全概率公式:31)()()(321BPBPBP42)|(,43)|(,32)|(321BAPBAPBAP31)|()()(iiiBAPBPAP362342314331323131我们把事件A看作某一过程的结果,把B1,B2,…,Bk,…看作该过程的若干个原因则我们可以用全概率公式计算结果发生的概率,即求P(A)全概率公式的使用根据历史资料,每一原因发生的概率已知,即已知P(Bk)而且每一原因对结果的影响程度已知,即已知P(A|Bk)32例6两批相同种类的产品各有十二件和十件,每批产品中各有一件废品,现在先从第一批产品中任取一件放入第二批中,然后再从第二批中任取一件,求这时取到废品的概率解:A:“取到废品”B:“从第一批中取到的是废品”有,1211)(,121)(BPBP33又有,由全概率公式,有:关键:划分111)|(,112)|(BAPBAP)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP13213111121111212134该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:35贝叶斯公式通常,由某一原因:互不相容的B1,B2,…,Bn结果:A如果在试验前P(Bi)及P(A|Bi)已知,现在进行一次试验,事件A的确发生了,重新估计Bi,即计算P(Bi|A)36有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?37某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.)()()|(11APABPABP记Bi={球取自i号箱},i=1,2,3;A={取得红球}求P(B1|A)3111)()()|()(kkkBAPBPBAPBP｜运用全概率公式计算P(A)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?38贝叶斯公式:设B1,B2,…,Bn互不相容,P(A)0,P(Bi)0,则:分析:,1niiBA),...,2,1()|()()|()()|(1nkBAPBPBAPBPABPniiikkk)()()|(APABPABPkk)|()()|()(1全概率公式乘法公式niiikkBAPBPBAPBP39贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.40例7某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手1人,一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别0.9,0.7,0.5,0.2,现从该射击小组任选一人,若此人已通过选拔进入比赛,问此人是一级射手的概率是多少?解:A:“任选的一名射手能通过选拔进入比赛”41Bi:“任选的一名射手是i级射手”(i=1,2,3,4)由已知:P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.7,P(A|B3)=0.5,P(A|B4)=0.2208)(,204)(21BPBP201)(,207)(43BPBP所求概率为P(B1|A)42由贝叶斯公式:“结果原因”)|