北师大版-八年级下第一章-三角形的证明-综合题专题训练

三角形证明【命题趋势】常考的知识点包括：全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的三线合一的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°的角的直角三角形的性质等，在中考时，灵活的掌握相应辅助线方法是解决问题的关键.在中考中将会加大对三角形有关证明的考察，而三角形全等是证明的基础.题型主要是以解答题的形式呈现，难度属于中等难度.线段的和差是中考中常见的考试类型，能较好的考察学生的推理和证明能力，同时能把三角形全等有机的结合起来，因此在最近几年的重庆中考试题中时常出现.针对此类中考热点问题，本专题主要探讨此类问题的解决方法—取长补短法.三角形证明（一）【经典专题突破】例1.如图，等边ABC△中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边CDE△,连结BE.（1）求证：ACDBCE△≌△；（2）延长BE至Q,P为BQ上一点，连结CP、QC使5CPCQ,若8BC时，求PQ的长.例2.如图，在RtABC△中，90ACB，ACBC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DEDF，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G．（1）求证：AGBF；（2）若9AE，18BF，求线段EF的长．第1题图第2题图例3：如图1，在RtABC△中，90ACB，CDAB，作ABC的平分线交AC、CD于点E、F．（1）求证：CECF；（2）如图2，过点F作FG∥AB交AC于点G，若10AC，4EG，求CE的长度．【仿真题型演练】1.如图，在等腰RtABC△中，90ACB，ACCB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持ADCE．连接DE、DF、EF．（1）求证：DFEF；（2）试证明△DEF是等腰直角三角形．2.已知等腰RtABC△中，90ACB，ACBC，点G在BC上，连接AG，过C作CFAG，垂足为点E，过点B作BFCF于点F，点D是AB的中点，连接DE、DF．（1）若30CAG，EG=1，求BG的长；（2）求证：AED=DFE第3题图FEDCBA第1题图GFEDCBA第2题图3.如图1，已知点D为等腰直角ABC△内一点，90ACB，15CADCBD，E为AD延长线上的一点，且CECA．（1）求DCA的大小；（2）若点M在DE上，如图2，且DCDM，求证：MEDB.4.如图，在RtABC△中，ABAC，90BAC，,DE为BC上两点，45DAE，F为ABC△外一点，且FBBC，FAAE。（1）证明：CEBF；（2）证明：222BDCEDE.【一线名师预测】1.如图，在ABC△中，45ABC，CDAB，BEAC，垂足分别为,,DEF为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，ABECBE．（1）证明：BHCA；（2）证明：222BGGEEA．第3题图第4题图第1题图2．如图，分别以ABC△的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接AO．（1）求BOD的度数；（2）求证：AO平分DOE．三角形证明（二）【经典专题突破】例1．如图，RtACB△中，90ACB，ABC△的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PFAD交BC的延长线于点F，交AC于点H.（1）求APB的度数；（2）证明：AHBDAB.例2.如图，等腰直角三角形ABC中，90BAC，D、E分别为AB、AC边上的点，ADAE，AFBE交BC于点F，过点F作FGCD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）证明：EGM△为等腰三角形；（2）证明：BGAFFG.第2题图第1题图第2题图例3.如图，ABC△中，ACBC，90ACB，点D在AC上，点E在BC延长线上，CD=CE，BD的延长线交AE于点F，连CF.（1）证明：AEBD；（2）证明：2EFFDFC.【仿真题型演练】1.在四边形ABCD中，ACAB，DCDB，60CAB，120CDB，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CEBF．（1）证明：DEDF；（2）在图中，若G在AB上且60EDG，证明：CEBGEG.2.如图，D是等边ABC△的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CEDA，连接DE交AC于F，过D点作于DGAC于G点.（1）证明：12AGAD；（2）证明：GFFCAG.第3题图第1题图第2题图3.如图，等边ABC△中，点E、F分别是AB、AC的中点，P为BC上一点，连接EP，作等边EPQ△，连接FQ，EF．（1）若等边ABC△的边长为20，且BPE=45°，求等边EPQ△的边长；（2）证明：BPEFFQ．4.如图，RtABC△中，90EACB，ABC的角平分线BE和BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PFAD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．（1）证明：45APB；（2）证明：BDAHAB；第3题图第4题图【一线名师预测】1.如图，在RtABC△中，ABAC，90BAC，ABEEBC，CEBD的延长线于E.（1）证明：2BDCE;（2）若3AB，1AD，求BE的长度.2.如图，已知90ACD，MN是过点A的直线，ACDC，DBMN于点B．（1）证明：2BDABCB;（2）当30BCD，2BD时，求BC的长度.第1题图NMDCBA第2题图