工程力学-组合变形

2020/4/231组合变形2020/4/232§8-1概述构件同时发生两种或两种以上的基本变形的情况，称为组合变形。烟囱yF1zF1zF22F传动轴吊车立柱1、组合变形的定义和工程实例2020/4/2332、组合变形解题的基本方法解决组合变形问题的基本方法是先分解后叠加,即首先将复杂的组合变形分解若干个简单的基本变形;然后分别考虑各个基本变形下发生的内力、应力和变形情况;最后进行叠加。2020/4/2343、解组合变形问题的一般步骤1.外力分析将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的静力等效力系2.内力分析分别做出各基本变形的内力图,确定构件危险截面位置及其相应内力分量,按叠加原理画出危险点的应力状态图.4.强度分析根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度理论进行强度计算。3.应力分析按危险截面上的内力值，分析危险截面上的应力分布，确定危险点所在位置。2020/4/235斜弯曲梁变形后，轴线位于外力所在的平面之外。§8-2斜弯曲一、概念平面弯曲：外力施加在梁的对称面（或主平面）内时，梁将产生平面弯曲。对称弯曲：平面弯曲的一种。即梁变形后，轴线位于外力所在的平面之内。2020/4/236二、斜弯曲时的应力与位移计算在集中力F1、F2作用下（双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用），梁将分别在水平纵对称面(Oxz)和铅垂纵对称面(Oxy)内发生对称弯曲。在梁的任意横截面m-m上，F1、F2引起的弯矩为)(,21axFMxFMzyxyzC(y,z)OyzmmF1Fa2MmmzOyzMy2020/4/237在F2单独作用下，梁在竖直平面内发生平面弯曲，z轴为中性轴。在F1单独作用下，梁在水平平面内发生平面弯曲，y轴为中性轴。斜弯曲是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。(2)F1单独作用下求应力：m-m截面上第一象限某点C(y，z)(1)F2单独作用下)(2axFMzyIMZZxFMy1zIMyy'2020/4/238(3)当F1和F2共同作用时，应用叠加法所以,C点的x方向正应力为压yIMzIMzzyy'zyBD中性轴EF＋＝zMF2F1和共同作用时F2单独作用时''F单独作用时1'My2020/4/239强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为][max中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程0yIMzIMzzyy危险点：m-m截面上角点B有最大拉应力，D有最大压应力；E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。可见B、D点就是危险点，离中性轴最远2020/4/2310上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线,E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。其与y轴的夹角为tantan00zyzyyzzyyzIIIIMMIIMMyz是横截面上合成弯矩M矢量与y轴间的夹角。22zyMMM一般，截面IyIz，即，因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直。所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内，即是斜弯曲。对圆形、正方形等Iy=Iz的截面，得=，即是平面弯曲Ozy2020/4/2311例8-120a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力F=qa/2如图。已知钢的许用弯曲正应力[]=160MPa,a=1m。试求梁的许可载荷集度[q]解：作计算简图,将自由端截面B上的集中力沿两主轴分解为qaFFqaFFozoy321.040sin383.040cosyqzaa40°FOCBAFyzqaaABCDFzyx2020/4/2312危险截面：由弯矩图，可确定A、D两截面为危险截面A、D截面在xoz、xoy平面的弯曲截面系数，可查表得3636m105.31,m10237yzWW在xoz主轴平面内的弯矩图(y轴为中性轴)在xoy主轴平面内的弯矩图(z轴为中性轴)0.642qa0.444qa0.321qa222ADCByM图(Nm)0.617aADCBMz图0.456qa0.383qa0.266qa222(Nm)2020/4/2313可见，梁的危险点在截面A的棱角处。危险点处是单轴应力状态，强度条件为][max即Pa10160)m105.21()(613maxqA解得kN/m44.7N/m1044.7][3q按叠加法，在xoz主轴平面内、xoy主轴平面内的弯曲正应力，在x方向叠加qWMWMAzzAyyAA)m105.21()(:截面13maxqWMWMDzzDyyDD)m1002.16()(:13max截面2020/4/2314§8-3拉伸(压缩)与弯曲组合F力作用在杆自由端形心处，作用线位于xy面内，与x轴夹角为.F力既非轴向力，也非横向力，所以变形不是基本变形。····LxyF一、横向力与轴向力共同作用2020/4/23151.外力分解Fy=Fsiny为对称轴，引起平面弯曲Fx=Fcos引起轴向拉伸····lxFxFyyFx2.内力分析FN=FxMz=Fy(lx)只有一个方向的弯矩，就用平面弯曲的弯矩符号规定。++xFyFxFNMzFyll2020/4/23163.应力及强度条件FN对应的应力Mz对应的应力AFNyIMzz叠加：yIMAFzzNyz2020/4/2317||||zzNWMAF||||zzNWMAF||||zzNWMAF由于忽略了剪切应力，横截面上只有正应力，于是叠加后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况：中性轴(零应力线)发生平移危险点的位置很容易确定，在截面的最上缘或最下缘。由于危险点的应力状态为简单应力状态(单向拉伸或单向压缩)，故：强度条件max≤[]2020/4/2318例8-2已知：W=8kN，AB为工字钢，材料为Q235钢，[]=100MPa。求:工字钢型号。解：AB受力如图这是组合变形问题压弯组合。NF40kNmkN12M0)(FAMkN42FkN,40xFkN8.12yFyFxFFWABC作出AB杆的弯矩图和轴力图W2020/4/2319根据内力图：危险截面为C截面kNm,12CMkN40NF设计截面的一般步骤先根据弯曲正应力选择工字钢型号；再按组合变形的最大正应力校核强度，必要时选择大一号或大二号的工字钢；若剪力较大时，还需校核剪切强度。2020/4/2320maxcWMAFCNMPa5.100][可以使用本题不需要校核剪切强度拉(压)弯组合变形时，危险点的应力状态是单向应力状态。按弯曲正应力选择工字钢型号WMC3cm120][][CMW选16号工字钢,cm1413W即2cm13.26A2020/4/2321当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。F1F2二、偏心拉伸与偏心压缩2020/4/2322以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为e(称为偏心距)的偏心拉力F为例，来说明.将偏心拉力F用静力等效力系来代替。把A点处的拉力F向截面形心O1点简化，得到轴向拉力F和两个在纵对称面内的力偶Mey、Mez。FezFeyFyMFzM,因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面O1xy、O1xz内的纯弯曲。z1yOFA(y,z)FFO1yzFFMeyzF=eMz=FyFOnnzy,yC(z)2020/4/2323轴力FN=F引起的正应力AFFA'N弯矩My=Mey引起的正应力yFyyIzFzIzM弯矩Mz=Mez引起的正应力zFzzIyFyIyM'按叠加法，得C点的正应力zFyFIyFyIzFzAFA为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。在任一横截面n-n上任一点C(y,z)处的正应力分别为2020/4/2324利用惯性矩与惯性半径间的关系22,zzyyiAIiAIC点的正应力表达式变为221zFyFiyyizzAF取=0，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程010202yiyzizzFyFyOz中性轴2020/4/2325可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。求出中性轴在y、z两轴上的截距FyzFzyziayia22,对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。中性轴D(y,z222)2azayOzyD(y,z)1112020/4/2326对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处。如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时，若杆任一横截面上的内力分量为FN=F、My=FzF，Mz=FzF，则与各内力分量相对应的正应力为：按叠加法叠加得OD2D1AFyzyOzhD1D2FWzFyzyOD2D1FyFWz中性轴yzOD1t,maxD2c,max2020/4/2327可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的棱角D1、D2处，其值为zFyFWFyWFzAFmaxcmaxt危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为][][cmaxc,tmaxt,2020/4/2328补充例题图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下表面的轴向正应变分别为εa＝1×10－3、εb＝0.4×10－3，材料的弹性模量E＝210GPa。(1).试绘出横截面上的正应力分布图；(2).求拉力F及偏心距δ的距离。abFF525aaEMPa210bbEMPa84MPa210MPa84WMAFNa26bhFbhFWMAFNb26bhFbhFbabhF2Fbhba122kN38.18mm786.12020/4/2329当偏心拉（压）作用点位于某一个区域时，横截面上只出现一种性质的应力(偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力)，这样一个截面形心附近的区域就称为截面核心。对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩），由于它们的抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定截面核心是很有实际意义的。为此，应使中性轴不与横截面相交。三、截面核心2020/4/2330作一系列与截面周边相切的直线作为中性轴，由每一条中性轴在y、z轴上的截距ay1、az1，即可求得与其对应的偏心力作用点的坐标(yF1,zF1)。有了一系列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）前面偏心拉（压）计算的中性轴截距表达式FyzFzyziayia2121,121121zyFyzFaizaiyOzyaay1z122114433552020/4/2331例8-4求矩形截面的截面核心边长为h和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。zyaha,2/得62/12/22hhhaiyyzF若中性轴与AB边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为012/22baiZzyFb66hCzybhBADh66bOa13d4b12020/4/2332例8-5求圆截面核心对于圆心O是极对称的，截面核心的边界对于圆心也应是极对称的，即为一圆心为O的圆。11,2/zyada得0,82/16/12121FyzFzdddaiy作一条与圆截面周边相切于A点的直线①，将其看作为中性轴，并取OA为y轴，于是，该中性轴在y、z两个形心主惯性轴上的截距分别为dzyO8d8d1A12020/4/2333同理，分别将与BC、CD和DA边相切的直线②、③、④看作是中性轴，可求得对应的截面核心边界上点2、3、4的坐标依次为0,6;6,03322FFFFzhybzy6,044bzyFF当中性轴从截面的一个侧边