条件概率

122.2.1条件概率聊城二中魏清泉学习目标1.了解条件概率的意义与计算公式。2.掌握乘法公式及其应用。学习重点与难点：乘法公式的内涵及其应用。（乘法公式是用来计算两个或两个以上事件同时发生的概率）教学过程设计一、回顾与引入将一质地均匀的硬币掷两次，观察出现正面的情况，令A={至少出现一次正面}，B={两次出现同一面}，则知样本S={HH，HT，TH，TT}，而A={HH，HT，TH}，B={HH，TT}。由古典概型计算公式可得P(A)=3/4，P(B)=1/2,那么在事件A发生条件下，B事件发生的条件概率P(B|A)是多少呢？可以肯定，P(B|A)应为1/3，即A已发生，{TT}已不可能出现，样本空间缩减为{HH，HT，TH}，此时只当{HH}发生时，B事件才发生，故有P(B|A)=1/3而分析P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4)=P(AB)/P(A),再检查，对古典概型而言，上式均成立，故上式可作为条件概率的具体描述公式。二、条件概率的定义设A,B为两事件，且P(A)0，称:为在事件A发生条件下B事件发生的条件概率。既然P(B|A)谓之条件概率，则P(B|A)必须满足概率的三条公理：13三、乘法公式设P(A)0，则有P(AB)=P(A)P(B|A)四、例题讲析例1一盒子装5只产品，其中3只一等品，2只二等品从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，设事件A={第一次取到一等品}，事件B={第二次取到一等品}，试求条件概率P（B|A）。解：先将产品编号，1，2，3号为一等品，4，5号为二等品，以(i,j)表示第一次，第二次分别取到第i号,第j号产品，则试验E（取产品两次，记录其号码）的样本空间S，全部基本事件如下，总数为20。(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,1)(2,3)(2,4)(2,5)(3,1)(3,2)(3,4)(3,5)(4,1)(4,2)(4,3)(4,5)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)事件A包含的基本事件为上三行，AB包含的基本事件为左上角的6个，则由条件概率公式（4.1）得若按条件概率的直观意义来求P(B|A)，则可认为发生之后，试验E的所有可能的集合就为A，而其中6个元素属于B，由古典概型公式得：P(B|A)=6/12=0.5例2（课本60页例2）例3设A，B为两事件，,已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,,试求14例4设某种动物活到20岁以上的概率为0.7,活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20的这种动物能活到25岁以上的概率？解：设这种动物活到20岁以上的事件为A，活到25岁以上的事件为B，则P(A)=0.7，而B×A，故AB=B即P(AB)=P(B)=0.4故事件A发生条件下B发生的条件概率解：设这种动物活到20岁以上的事件为A，活到25岁以上的事件为B，则P(A)=0.7，而B×A，故AB=B即P(AB)=P(B)=0.4故事件A发生条件下B发生的条件概率例5四、练习与巩固1.课本61页练习2.指导书35页1---9.五、小结15注意公式性质和应用。六、作业预习下一节。2.2.2事件的相互独立性聊城二中魏清泉学习目标1．掌握乘法公式及其应用。2.掌握一般两个或n个事件独立的条件及其在概率计算中的应用学习重点与难点：1.乘法公式的内涵及其应用。（乘法公式是用来计算两个或两个以上事件同时发生的概率）2.n个事件独立与两两独立之间的关系。在独立的条件下，尽可能将一些事件和的概率转化成一些相关事件积的概率进行计算。教学过程设计一、回顾与引入条件概率公式及乘法公式二、两个事件的相互独立性1.相互独立性定义设A、B是两事件，如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)则称A、B为相互独立事件。2、逆事件的相互独立性定理若四对事件A与B，与B，A与和中有一对是独立的事件，则另外各对事件也是相互独立的事件。163相互独立与互不相容的区别和关系相互独立与互不相容是两个不同的概念。两事件互不相容是指两事件A,B不能同时发生，即AB=φ,它描述的是两事件之间互不包含的关系。一般地，若AB=φ,则有：0=P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)故若P(A)0(或P(B)0)则P(B|A)=0(或P(A|B)=0)反之，若P(A)0(或P(B)0)且P(B|A)=0(或P(A|B)=0)则有P(AB)=0。在古典概型（即样本点有限）下有AB=φ，即A与B互不相容。若P(A)0（或P(B)0)且P(B|A)0(或P(A|B)0)则A、B两事件必能同时发生，而A、B必不是互不相容的。三、三个事件间的两两独立性设A、B、C为三事件，如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)（5.2)P(CA)=P(C)P(A)则称三事件A、B、C为两两独立的事件。三个事件间的相互独立性设A,B,C为三事件，若同时满足(5.2)与(5.3)式，则称A,B,C为相互独立事件。易见，A,B,C相互独立，则A,B,C必两两独立，反之不然。比如：某单身小伙子，他梦想的姑娘有一双明亮的大眼睛，有一头飘柔的长发，并有充分的概率知识，假定这三种品质是相互独立的，且对应的概率分别为0.1,0.1及0.0001,则他遇到的第一位年轻小姐（或随机地选一位）同时显示这三种品质的概率即为17p=0.1×0.1×0.0001=0.000001即百万分之一。四、例题讲析例1设n件产品中有k(n)件次品，每次任取一件，试验证放回抽样的两次抽取是独立的，而不放回抽样的两次抽取是不独立的。例2（课本例3）例3，设事件A与B相互独立，已知P(A)=0.4,P(AYB)=0.7,试求P(|A)。解0.7=P(AYB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4+P(B)-0.4×P(B)=0.4+0.6P(B)18解得：P(B)=0.3/0.6=0.5又由A,B相互独立，故A与也相互独立，所以有P(|A)=P()=1-P(B)=0.5例4若有一均匀正八面体，其第1、2、3、4面染上红色，第1、2、3、5面染上白色，第1、6、7、8面染上黑色。现令：A={抛一次正八面体朝下的一面出现红色}；B={抛一次正八面体朝下的一面出现白色}；C={抛一次正八面体朝下的一面出现黑色}；试验证（5.3）式成立，但P(AB)≠P(A)P(B)。验：由古典概型计算得：P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2故P(A)P(B)P(C)=(1/2)×(1/2)×(1/2)=1/8而P(ABC)=1/8,故有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)又P(AB)=3/8≠P(A)P(B)(1/2)×(1/2)=1/4例4例5.8设有电路如图所示,其中1,2,3,4为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一继电器接点闭合的概率均为p，求L至R为通路的概率。解：设事件Ai(i为1、2、3、4）为：“第i个继电器接点闭合”于是A=A1A2∪A3A4故由概率加法公式及A1A2A3A4的相互独立性知P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=例5设甲、乙、丙三人同时向一敌机射击，射中的概率分别为0.4，0.5，0.7，且知若只有一人射中，飞机坠落的概率为0.2，若二人射中，飞机坠落的概率为0.6，若三人射中，飞机必坠落，求飞机坠落的概率。解：设A={飞机坠落}，Bi={有i人射中},i=0、1、2、3。显然，B0、B1、B2、B3为S={三人射击飞机时有若干人击中飞机}的一个划分，且有：P(B0)={甲、乙、丙三人均未射中}=(1-0.4)(1-0.5)(1-0.7)=0.6×0.5×0.3=0.09P(B1)=P{甲射中，而乙、丙未射中}+P（乙中，而甲、丙未中}+P（丙中，而甲、乙未中}=0.4×（1-0.5）×（1-0.7）+（1-0.4）×0.5×（1-0.7）+（1-0.4）×（1-0.5）×0.7=0.36P(B2)=P(甲、乙射中，而丙未中}+P{乙、丙射中，而甲未中}+P{甲、丙射中，而乙未中}=0.4×0.5×（1-0.7）+（1-0.4）×0.5×0.7+0.4×（1-0.5）×0.7=0.4119P(B3)=P{甲、乙、丙三人均射中}=0.4×0.5×0.7=0.14而P(A|B0)=0,P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1,故由全概率公式得：=0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.41×1=0.458例6要验收一批（100件）乐器，验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接受。设一件音色不纯的乐器经测试查出音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接受的概率是多少?解：五、小结：注意公式的应用六、练习与巩固1.课本63页2.指导书37页1--10六、作业指导书38页10、11、12202.2.3独立重复试验与二项分布聊城二中魏清泉学习目标：1.理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率的意义，并会计算其概率。2．理解二项分布的意义，并会求出服从二项分布的随机变量的分布列。学习重点与难点：1．事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率的意义，计算其概率。2．二项分布的意义，求服从二项分布的随机变量的分布列。教学过程设计一、回顾与引入条件概率、相互独立二、试验的相互独立性若在同样条件下，将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是相互独立的。例在同样条件下，抛掷一均匀硬币n次，易见每次投掷的结果，即不管出现“正面”或“反面”，均不会影响其它各次投掷结果，即此为n次重复且相互独立试验。例从一批灯泡中，任取n只作寿命试验，而每只灯泡的寿命结果不会影响其它灯泡的寿命结果，故此亦为n次重复且相互独立试验。21三、二项分布进行一系列试验,如果1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的;2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验.在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，在此给出一般性的推导：已知是某随机试验中可能出现的事件，且，现在把这个试验独立地重复进行次，要求事件恰好发生次的概率．首先，在次试验的总结果中，有些试验结果是，有些试验结果是，所以总结果是几个与几个的一种搭配．要求总结果中事件恰好发生次，就是个与个的一种搭配．而合乎这个要求的搭配，又因与出现的先后次序不同而可能有许多种．在次试验的总结果中，含个以及个的搭配的种数，相当于从个号码中任取个号码的不同取法的种数种，而所有这些引起的搭配显然都是等可能的，并且均是互斥的．”如果随机变量有概率函数(2.1)其中，，则称服从参数为，的二项分布。公式（2．1）称为二项分布公式或贝努里公式。在这里的值恰好是二项式展开式中第项的系数。四、例题讲析例1（课本例4）22例2某工厂每天用水量保持正常的概率为，求最近6天内用水量正常的天数的分布。解:设最近6天内用水量保持正常的天数为。它服从二项分布，其中，，用公式(4.1)计算其概率值，得到：…列成分布表如表4-1：表4101234560.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780例310部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为0.2。求同时停车数目的分布。解:服从二项分布，可用贝努里公式计算。现将计算结果列成分布表如表4-2：表4－2230123456789100.110.270.300.200.090.030.010.000.000.000.00例4一批产品的废品率，进行20次重复抽样