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《用表格表示的变量间的关系》教案探究版教学目标知识与技能在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量和常量，并能举出反映变量之间关系的例子.学会用表格整理试验得出的数据，能从表格中获得变量之间关系的信息，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测.过程与方法经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感.情感与态度体会数学的概念来自于实践生活，感受探究变量关系在生活中的应用，树立积极参与，勇于探索的科学态度．教学重点能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况．教学难点对表格所表达的两个变量关系的理解．教学过程设计一、问题导入某种蔬菜的价格随季节变化如下表：价格单位：元/千克月份123456789101112价格5.005.505.004.802.001.501.000.901.502.003.003.50从表中可以得到价格的什么信息？提示：蔬菜的价格的变化是月份的变化而变化的，从1月份到8月份价格随月份增加而越来越低，从8月份到12月份随月份增加而越来越高.设计意图：通过具体问题，让学生体会身边的生活中存在着多种多样变化的量，并且这些量之间有时存在着一定的联系．二、探究新知（一）感受生活事例中变与不变的量背景一：王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间．他们得到如下数据：表1支撑物高度/cm102030405060708090100下滑时间/s4.233.002.452.131.891.711.591.501.411.35（1）支撑物高度为70cm时，小车下滑时间是多少？（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？（3）h每增加10cm，t的变化情况相同吗？（4）估计当h=110时，t的值是多少．你是怎样估计的？（5）随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？通过表格可以看到：（1）支撑物高度为70cm时，小车下滑时间是1.59s．（2）随着h逐渐变大，t逐渐变小．（3）h每增加10cm，t的变化情况不相同（4）通过表格中t随h的变化趋势，估计当h=110时，t的值是1.30（5）随着支撑物高度h的变化，t随这发生变化，但是下滑的路程始终不发生变化．背景二：我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：表2（1）如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？（2）从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？通过表格可以看到：（1）随着x的增加，y也随之增加．（2）时间每向后推移10年，我国人口大约增加1.5亿左右．时间/年1949195919691979198919992009人口/亿5.426.728.079.7511.0712.5913.35（二）在感受中形成概念在表1中，支撑物高度h和小车下滑时间t都在变化，它们都是变量（variable）．其中t随h的变化而变化，h是自变量（independentvariable），t是因变量（dependentvariable）．在这一变化过程中，小车下滑的距离（木板长度）一直没有变化．像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量（constant）．在表2中，我国人口总数y随时间x的变化而变化，x是自变量，y是因变量．借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况．设计意图：通过生活中的背景表格，让学生从对应的角度，初步感受变量之间的对应思想．三、典例精讲例1．指出下列实例中自变量与因变量（1）随着时间的推移，汽车在行驶中的耗油量减少．（2）门票价格不变，中山公园的收入状况．（3）若中山公园限制人口数量，而门票价格可以浮动则中山公园的收入．分析：注意自变量与因变量不是一成不变的．解：（1）时间是自变量；耗油量是因变量．（2）收入是因变量；人数是自变量．（3）收入是因变量；门票价格是自变量．例2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系：x(kg)012345y(cm)1010.51111.51212.5下列说法不正确的是()A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cmC．弹簧不挂重物时的长度为0cmD．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm解析：A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故A正确；B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm，故B正确；C．弹簧不挂重物时的长度为10cm，故C错误；D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故D正确．故选C．设计意图：在解题时可根据给出的表格中的数据进行分析，确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度．例3．某电信公司最近推出了如下的话费业务：基本月租费24元，每次电话前3分钟共计0.3元，每过一分钟再收费0.11元（不足1分钟按1分钟计），现小明妈妈因有事打了10分钟电话．（1）上述过程中哪些量发生了变化（2）请完成下表（月租费不计）时间/分前3分钟46810计费/元分析：本题来自于现实生活，不难理解．解：（1）通话时间与计费；自变量是通话时间，因变量是计费．（2）依次是0.30.410.630.851.07四、课堂练习下表是某旅游胜地一周内旅馆的入住率情况时间/星期一三五七入住率％2550.875100（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪是自变量？哪是因变量？（2）依据上表数据，你能估计一下周六旅馆的入住率吗？分析：变量及入住率之间关系较为明显，容易说出，而估测值只要在大于75％以上即可，也可能大于100％，因为周末的原因．解：（1）上表反映了旅馆入住率随时间变化情况；时间是自变量，旅馆入住率是因变量．（2）答案可以是75％以上的任何值．五、课堂小结1．常量与变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量．2．用表格表示数量间的关系：借助表格表示因变量随自变量的变化而变化的情况．六、布置作业1．据国家统计局统计，解放以来至2000年我国各项税收收入合计如下表:年份19501955196019651970197519801985199019952000税收收入(亿)491272032042814035722042822603812581从表中可以得出:解放以来我国的税收收入总体趋势是__________，其中，_______年与5年前相比，增长百分数最大，_________年与5年前相比增长百分数最小，算一算，2000年与1950年相比，税收收入增长了________倍．(保留一位小数)2．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值:(1)上述反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当所挂重物为3kg时，弹簧多长?不挂重物呢?(3)若所挂重物为6kg时(在弹簧的允许范围内，你能说出此时弹簧的长度吗?所挂重量x(kg)012345弹簧长度y(cm)1820222426283．小强通过卖报存够了钱，买了一辆新的自行车，小强马上告诉了两个朋友，10min后，他们又各自告诉了另外两个朋友，再过10min，这些朋友又各自告诉了两个朋友，如果消息按这样的速度传下去，80min后将有多少人知道小强买了一辆新自行车的消息?4．1～6个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重y(g)和月龄x(月)的关系如下表，某一婴儿出生时体重是ag，下表表示这一婴儿在出生后1～6个月时的体重．月龄/月(x)123456体重/g(y)4200490056006300700077005．2002年1～12月某地大米的平均价格如下表表示?月份123456789101112平均价格(元/kg)2.32.42.42.52.42.22.01.91.81.81.92.0(1)表中列出的是哪两个变量之间的关系?哪个是自变量，哪个是因变量?(2)自变量是什么值时，因变量的值最小?自变量是什么值时，因变量的值最大?(3)该地哪一段时间大米平均价格在上涨?哪一段时间大米平均价格在下落?(4)从表中可以得到该地大米平均价格变化方面的哪些信息?平均比年初降低了，还是涨价了?答案1．逐年递增的，1985，1965，255.92．(1)弹簧长度y与物体重量x间的关系，物体重量是自变量，弹簧长度是因变量(2)当所挂重物为3kg时，弹簧长度为24cm，不挂重物时弹簧长度为18cm(3)当所挂重物为6kg时，弹簧长度为30cm3．2+22+23+24+25+26+27+28+29=10224．y=700(5+x)(其中1≤x≤6)5．(1)表中表示的是大米平均价格与月份这两个变量间的关系，月份是自变量，大米的平均价格是因变量．(2)自变量是9、10时，因变量值最小，自变量是4时，因变量的值最大．(3)从1月至4月，10月至12月大米平均价格在上涨，从4月到9月大米平均价格在下跌．(4)大米的平均价格随时间的变化而变化，价格随市场需求而变动，年底比年初是降价了．七、课堂检测1．小明和他爸爸做了一个实验:由小明从一幢245m高的楼顶随手扔下一只苹果，由他爸爸测量有关数据，得到苹果下落的路程和下落的时间有下面的关系:下落时间t(s)123456下落路程S(m)5204580125180则下列说法错误的是()A．苹果每秒下落的路程不变；B．苹果每秒下落的路程越来越长C．苹果下落的速度越来越快；D．可以推测，苹果下落7s后到达地面2．赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表:年龄x(岁)03691215182124身高h(cm)48100130140150158165170170．4下列说法错误的是()A．赵先生的身高增长速度总体上先快后慢；B．赵先生的身高在21岁以后基本不长了；C．赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高7.1cm；D．赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1cm．3．某百货商场为研究销售规律，对在店顾客人数作了分时段统计，下面的表格是该商场某日从早9时到晚18时，每隔1小时所作的在店顾客人数统计（单位：百人）．时刻9101112131415161718在店人数（百人）3798863321（1）什么时间商店人最多？什么时间商店人最少？（2）哪段时间之内商店人比较多，哪段时间内商店人的人比较少？（3）根据这个统计表，如果你是管理者怎样安排员工的工作时间．4．2000年7月1日国家规定的整存整取定期储蓄利率如下：存期三个月半年一年二年三年五年年利率1.98%2.16%2.25%2.43%2.70%2.88%（1）年利率是如何随存期的变化而变化的？你如何选择存期？（2）现有人民币10000元，两年后才用，假定按2000年7月1日的利率存入银行．试问下面两种存款方式中：a．一个两年期，b．一个一年期，接着又一个一年期，选择哪一种存款方式能获得最大利息？5．研究表明，弹簧挂上物体后会伸长，知弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表：物体质量/kg01234…弹簧长度/cm88.599.510…（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪是自变量？因变量？（2）当物体的质量为3kg时，弹簧的长度是多少？（3）如果物质质量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式．（4）当物体质量为3.5kg，你能说出弹簧的长度吗？（5）当弹簧长度为12.5cm时，根据（3）求出所挂物体质量．答案1．A2．C3．（1）11时人最多，约9百人；18时人最少约1百人（2）10时至14时之间人较多；其他时间人较少（3）在人多时增加员工，在人少时减少员工．4．（1）随着存期的增加利率也提高（2）a可得利息486元，b两次共得利息480．0625元，应选a．5．（1）弹簧长度随物体质量的变化规律，物体质量是自变量，弹簧长度是因变量（2）9.5cm（3）xy5.08（4）9.75（5）9kg