华东交通大学概率论及数理统计课件习题课

一、基本概念1、随机试验设E为一个试验,如果它满足下机三个条件，则称为随机试验：（1）可以在相同条件下重复进行;（2）事前可知它的全部结果，每次试验至少且至多出现其中的一个结果；（3）在试验之前，不能确定出现哪个结果。2、样本空间称随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间，记为，样本空间中的元素，称为样本点。EE3、随机事件我们把样本空间的子集称为随机事件。4、随机事件的概率设E是随机试验，是它的样本空间，对1)(0AP公理1于中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数)(P满足下述三条公理:公理21)(P公理3若事件A1,A2,…两两互不相容)()()(2121APAPAAP则有概率具有以下性质：niniiAPAP11)()(是有限个两两互斥的事件，则性质1（加法定理）若nA,,A,A21性质2对任一事件A，有)(1)(APAP)()()(APBPABP)()(APBP性质3设Ａ、B是事件，若,BA则有5、古典概型如果随机试验具有下列特点就称之为古典概型：（1）试验所有可能的结果个数有限,即基本事件个数有限。（2）各个试验结果在每次实验中发生的可能性是一样的。对于古典概型,设其样本空间由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成。则定义事件A的概率为：A包含的样本点数中的样本点总数nrAP)(6、条件概率设A、B是两个事件，且P(B)0,则称为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。)()()|(BPABPBAP7、乘法公式若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)8、全概率公式和贝叶斯公式设为随机试验的样本空间，nAAA,,,21是两两互斥的事件，且,0)(iAPniiiABPAPBP1)()()(｜则对任一事件B，有,1niiA,,,2,1ni这个公式称为全概率公式。nAAA,,,21是两两互斥的事件，且设另有一事件B,它总是,,,2,1,0)(niAPi之一同时发生，则与nAAA,,,21niABPAPABPAPBAPnjjjiii,,2,1)()()()()|(1｜｜这个公式称为贝叶斯公式。9、事件的独立性)()()(BPAPABP此时称A与B是相互独立的。设是两个事件，满足BA,一般地，是个事件，如果对于任意的，具有等式nAAA,,,21nk)()()()(2121nniiiiiiAPAPAPAAAP则称为相互独立的事件。nAAA,,,21二、随机变量1、随机变量的定义设是随机试验，它的样本空间，如果对于每一个，有一个实数与之对应，这样就得到一个定义在上的单实值函数，称之为随机变量。E)(X)(XX2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量的只取有限个或可数个值X并且取各个值的对应概率为,,,,,21kxxx,,,,,21kppp),2,1()(kpxXPkk即则称为离散型随机变量，上式称为的概率分布，又称分布密度或分布列。XX离散型随机变量的分布列具有以下性质：11kkp（2）,2,1,0kpk（1）3、分布函数及其性质设是一个随机变量，是任意实数，函数Xx)()(xXPxF)(x称为的分布函数。X4、连续型随机变量及其概率密度)()(lim)4(000xFxFxx即是右连续的。)(xF分布函数具有以下性质：;,1)(0)1(xxF;1)(lim;0)(lim3xFFxFxFFxFxx2121),()()2(xxxFxF对xdttfxXPxF)(则称为连续型随机变量，为的概率密度函数，简称概率密度。XXxf设是随机变量的分布函数，如果存在一非负函数，使对任意实数有xxf)(xFX概率密度函数具有以下性质：;0)()1(xf1)()2(dxxf21)()()()(1221xxdxxfxFxFxXxP（3）对任意实数有,21xx（4）若在点处连续，则)(xfx)()(xfdxxdF5、常用概率分布（1）0-1分布pXPpXP1)0(,)1(nkppCpknPknkkn,,1,0,)1(),,(0,,2,1,0,!)(kekkXPk（2）二项分布),(~pnBX（3）泊松分布)(~PX（4）几何分布,2,1,)1()(1kppkXPk.,0,1)()(其它bxaabxFxf（5）均匀分布),(~baUX（6）正态分布),(~2NX,21)(222)(xexfx当时，称为标准正态分布,记为。其密度函数和分布函数常用和表示：102,)(x)(x)1,0(Nxexx,21)(22xdtexxt,21)(22（7）指数分布)(~EX,000)(xxexfx06、二维随机变量及联合分布设是两个随机变量，如果对任意一组实数，使得YX,yx,},{yYxX是一个随机事件，则称为二维随机变量。为二维随机变量的联合分布函数。),(YX),(),(),(yxyYxXPyxF相应地，称);,(lim),()(),()(yxFxFxXPYxXPxFyX).,(lim),()(),()(yxFyFyYPyYXPyFxY为分别关于和的边缘分布函数。),(YXYX称7、二维离散随机变量的概率分布为的联合分布列或分布列。),(YX,2,1,,),(jipyYxXPijji设二维离散型随机变量可能取值为，相应的概率为),(YX),3,2,1,(),(jiyxii，则称ijp,2,1,)(ippxXPjijii,2,1,)(jppyYPiijjj称分别为关于和的边缘分布列。XY8、二维连续随机变量的概率密度dxdyyxfyxFxy),(),(设二维随机变量的分布函数，如果存在一非负可积二元函数，使对任意实数有),(YX),(yxF),(yxf,,yx则称是二维连续型随机变量，相应的二元函数称为的联合密度。它具有以下性质：),(YX),(yxf),(YX;1),()2(dxdyyxf;0),()1(yxfyxyxFyxf),(),(2（3）在的连续点，有),(yxf（4）对平面上的任意区域D}),{(DyxPdxdyyxfD),(（5）和的边缘密度函数分别为XY),(,),()(xdyyxfxfX),(,),()(ydxyxfyfY9、二维均匀分布和正态分布设是平面上的有界区域，其面积为。若二维随机变量具有概率密度GS),(YX其它,0),(,1),(GyxSyxf则称在上服从二维均匀分布。),(YXG2112221121121)[()(exp{),(xyxf]})())((22222211yyx若二维随机变量具有概率密度：),(YX其中均为常数,且,,,,2121,,,,2121则称服从参数为),(YX的二维正态分布。,0,0211||10、随机变量的独立性设是两个随机变量，若对任意实数有YX，yx,,)()(),(yYPxXPyYxXP则称与是相互独立的。XY随机变量和相互独立的充分必要条件是：XY.)()(),(yFxFyxFYX)()(),(yfxfyxfYX连续型随机变量与相互独立的充分必要条件是：XY离散型随机变量与相互独立的充分必要条件是：XY)()(),(jijiyYPxXPyYxXP11、随机变量函数的分布则也是一离散型随机变量，且其分布列为：)(XgY若是一维离散型随机变量，其分布列为X,2,1,)(kpxXPkk,2,1,))((kpxgYPkk若已知，是严格单调函数，其反函数有连续的导数。则也是连续型随机变量，其概率密度为：)(~xfX)(XgY)(xgy)(yhx)()]([)(yhyhfyfY（注：使反函数无意义的，定义概率密度为0）y如果的联合概率密度为，),(YX),(yxf则随机变量的概率密度为YXdyyyzfdxxzxfzf),(),()(特别地，当与相互独立时，XYdyyfyzfdxxzfxfzfYXYX)()()()()(上式称为和的卷积公式。)(xfX)(xfX三、数字特征1、数学期望（1）设离散型随机变量的分布列为X,2,1,)(kpxXPkk如果收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为kkkpx1kkkpx1XE即kkkpxXE1（2）设X为连续型随机变量，概率密度为，如果积分绝对收敛，则称积分的值为连续型随机变量X的数学期望，记为，即xfdxxxfdxxxfXEdxxxfxE(3)设是随机变量的函数：YX)(XgY若是离散型随机变量，其分布列为X,2,1,)(kpxXPkk如果级数收敛，则kkkpxg1kkkpxgXgEYE1若是连续型随机变量，概率密度为X)(xf如果收敛，则有dxxfxg.dxxfxgXgEYE（4）二维随机变量函数的数学期望如果是二维随机变量，是关于X和Y的二元函数，YX,YXgZ,当是二维离散型随机变量，其联合分布列为YX,,,2,1,,,jipyYxXPijji则.,,1,ijjijipyxgYXgEZE当是二维连续型随机变量，其联合概率密度为，则YX,yxf,.,,,dxdyyxfyxgYXgEZE（5）数学期望的性质如果X、Y是两个随机变量，C为任意常数，且都存在，则数学期望有以下四条常见的性质。YEXE,;)(CCEi;)(XECCXEii;)(YEXEYXEiii如果X与Y相互独立，则)(iv.YEXEXYE2、方差（1）对随机变量X，如果存在，则称的值为随机变量X的方差，即2XEXE2XEXE2)(EXXEXD（2）方差的性质；）（；）（为常数XDCCXDiiiXDCXDiiCCDi2;0)(。，即常数取以概率的充分必要条件是；相互独立，则与若1C1X0)(YX)(CXPXDvYDXDYXDiv3、协方差和相关系数设（X，Y）是二维随机变量,如果存在,则称之为X与Y的协方差,记为EYYEXXE),cov(YX即.,covEYYEXXEYX.EYEXXYE而YDXDYXxy,cov称之为X与Y的相关系数。协方差和相关系数具有以下几条性质：.,,cov,cov)(,cov,cov,cov)(;0,cov)(2121为常数，。为任常数baYXabbYaXiiiYXYXYYXiiCCXi;1,YXiv1,YXv的充分必要条件是存在常数a，b使;1baXYPvi当X、Y相互独立时，.0,YX4、常见分布的数学期望和方差泊松分