华东交通大学概率论及数理统计课件第四章

第四章、随机变量的数字特征第一节：数学期望第二节：方差第三节：协方差及相关系数第四节：矩、协方差矩阵在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度；考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度；因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.而所谓的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点。在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数第一节数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质小结引例：某7人的数学成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为90852802756071221190858075607777779.3以频率为权重的加权平均一、离散型随机变量的数学期望定义1设X是离散型随机变量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…请注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。1)(kkkpxXE若级数1kkkpx绝对收敛，则称级数1kkkpx)(XE即的和为随机变量X的数学期望，记为,例1、（0-1）分布的数学期望X服从0-1分布，其概率分布为XP011-pp若X服从参数为p的0-1分布，则E(X)=p()0(1)1EXppp例2,,21XX所得分数分别记为甲、乙二人进行打靶，它们的分布率分别为01200.20.80120.60.30.11Xkp2Xkp的数学期望，和解：我们先来算21XX分）分）(5.01.023.016.00)((8.18.022.0100)(21XEXE试比较甲、乙两人的技术那个好到站时刻8:108:308:509:109:309:50概率1/63/62/6一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.例3按规定,某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：其分布率为以分计为解：设旅客的候车时间),(XX1030507090kp63626161636162616361)()()(}70{BPAPABPXP上表中例如的数学期望为候车时间到站第二班车为事件到站第一班车为事件其中XBA.30:9,10:8分22.2736290363703615062306310)(XE).(),(~XEX求设例40,,2,1,0,!}{kkekXPXk的分布率为解)()!1(!)(110XEeekekekXEXkkkk即的数学期望为定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果积分dxxxf)(绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望,即dxxfxXE)()(请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.二、连续型随机变量的数学期望).(),,(~XEbaUX求设例4其它的概率密度为解01)(bxaabxfXbabadxabxdxxxfXEX2)()(的数学期望为.),(的中点即数学期望位于区间ba例5其概率密度为服从同一指数分布它们的寿命装置个相互独立工作的电子有,)2,1(,2kXk0,00,01)(xxexfx若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望.0001)()2,1(xxexFkXxk的分布函数为解12min(,)NXX0001)](1[1)(22minxxexFxFx0002)(2minxxexfNx的概率密度为于是22)()(02mindxexdxxxfNEx的分布函数为三、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.(1)当X为离散型时,它的分布率为P(X=xk)=pk;绝对收敛，则有若1)(),,2,1(kkkpxgk(2)当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若绝对收敛，则有dxxfxg)()(dxxfxgXgEYE)()()]([)(定理设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()]([)(1该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。))(,(,是连续函数的函数是随机变量设gYXgZYXZ则是一维随机变量,Z则有概率密度为是二维连续型若),,(,),()1(yxfYXdxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(则有概率分布为是二维离散型若)2,1,(},{,),()2(jipyYxXPYXijji11),()],([)(jikjipyxgYXgEZE.积分或级数都绝对收敛这里假定上两式右边的例6密度即具有概率上服从均匀分布在设风速,),0(aV其它001)(avavf.),,0(:2的数学期望求常数的函数是压力又设飞机机翼受到的正WkkVWVW2022311)()(kadvakvdvvfkvWEa解：由上面的公式例7EX=0101312),(xdyxdxdxdyyxxfE(-3X+2Y)=31)23(20101xdyyxdxEXY=01011212),(xydyxdxdxdyyxxyf其它；,0),(,2),(Ayxyxf解：0xy01yx设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。四、数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C;4.设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(][:推广niiniiXEXE11)(][:推广（诸Xi相互独立时）请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立。和来证性质请同学自己证明，我们，性质4321于是有概率密度为其边缘）的概率密度设二维随机变量（证),(),().,(,yfxfyxfYXYX得证。性质3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE,,相互独立又若YX.4)()()()(),()(得证性质YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX五、数学期望性质的应用例8求二项分布的数学期望若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.现在我们来求X的数学期望.可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.X~B(n,p),若设则X=X1+X2+…+Xn=np次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，…，n因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-pniiXE1)(所以E(X)=则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.E(Xi)=)1(01pp=p本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.六、小结这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：方差第二节方差方差的定义方差的计算方差的性质切比雪夫不等式小结上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们：甲击中的环数；X：乙击中的环数；YX8910P0.10.80.1Y8910P0.40.20.4平较高？试问哪一个人的射击水．比较两个人的平均环数91.0108.091.08EX94.0102.094.08EY。，，而乙射手则较为分散环分集中在均值甲射手射击大部是有差异的的，但两个人射击技术是一样，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看9由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到这个数字特征就是我们这一节要介绍的方差})({XEXE能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量})]({[2XEXE来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.一、方差的定义设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在,称E[(X-E(X)]2为X的方差.记为D(X)或Var(X)，即具有相同的量纲。，它与记为的标准差或均方差称为方差的算术平方根XXXXD)()(D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。X为离散型，分布率P{X=xk}=pk由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.,)()]([,)]([)(212dxxfXExpXExXDkkk二、方差的计算X为连续型，X概率密度f(x)计算方差的一个简化公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2展开证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性质例1设随机变量X具有(0—1）分布，其分布率为pXPpXP}1{,1}0{求D(X).解pppXE1)1(0)(pppXE2221)1(0)(由公式)1()]([)()(222ppppXEXEXD因此,0-1分布)1()(,)(ppXDpXE例2。，求设)()(~XDX解X的分布率为0,,2,1,0,!}{kkekXPk上节已算得而,)(XE])1([)(2XXXEXE)()]1([XEXXE0!)1(kkkekk222)!2(kkke