概率1-5

概率论第五节条件概率条件概率乘法公式小结布置作业概率论在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般地P(A|B)≠P(A)概率论P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，P(A|B)=1/3.B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.容易看到)()(636131BPABPP(A|B)于是概率论P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B))()(10710373BPABP则概率论P(A)=3/10，B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品}，计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.概率论若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1))()()|(BPABPBAPSABAB2.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.概率论3.条件概率的性质(自行验证):|件具备概率定义的三个条条件概率AP;0|,:1ABPB对于任意的事件非负性;1|:2AP规范性,,,:321则有是两两互斥事件设可列可加性BB11iiiiABPABP.性质对条件概率都成立所以在第二节中证明的概率论2)从加入条件后改变了的情况去算4.条件概率的计算1)用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0掷骰子例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}P(A|B）=31B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数概率论例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1)()()|(BPABPBAP解法22163)|(BAP解设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算21366363概率论由条件概率的定义：即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2))()()|(BPABPBAP而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率概率论注意P(AB)与P(A|B)的区别！请看下面的例子概率论例2甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产},A={是标准件}概率论所求为P(AB).设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A|B).B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产概率论例3设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).)()()|(APABPABP5.08.04.0)()(APBP概率论条件概率P(A|B)与P(A)的区别每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小,即P(A|B)仍是概率.概率论.个事件的积事件的情况乘法定理可以推广到多,0,则且为三个事件、、设ABPCBA.||APABPABCPABCP,2,,,,,21并且个事件设有一般地nAAAnn,,0121可得则由条件概率的定义nAAAP2-2111-2121||nnnnnAAAAPAAAAPAAAP112213||APAAPAAAP概率论乘法公式应用举例一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.（波里亚罐子模型）b个白球,r个红球概率论于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”b个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.解设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,4概率论用乘法公式容易求出当c0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)概率论一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”概率论到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”概率论我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/51A第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，iA则表示“第i个人未抽到入场券”概率论因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA由于由乘法公式P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5计算得：概率论)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，概率论,,2,354试按个白球个黑球个红球设袋中有例2;1不放回抽样有放回抽样两种方式摸球三次.,概率求第三次才摸得白球的每次摸得一球解1有放回抽样,第一次未摸得白球设A,第二次未摸得白球B.第三次摸得白球C可表示为第三次才摸得白球则事件.ABCAP,108ABP|,108ABCP|,102概率论APABPABCPABCP||108108102.125162无放回抽样AP,108ABP|,97ABCP|,82APABPABCPABCP||1089782.457概率论,6第一次落下时透镜设某光学仪器厂制造的例,,21第二次落下若第一次落下未打破打破的概率为,,107第三次落下打若前两次未打破打破的概率是.,109破的概率试求透镜落下三次未打破的概率是解,3,2,1,iiAi次落下打破透镜第设,则透镜落下三次未打破B.321AAAB321AAAPBP213121||AAAPAAPAP10911071211.2003概率论.1,BPBPBPBP求得再由本题也可以先求由于,321211AAAAAAB,,321211AAAAAA并且,故有为两两不相容事件321211AAAAAAPBP321211AAAPAAPAP213121121|||21AAAPAAPAPAAPAP211072111091071211.20019720019711BPBP所以.2003概率论,20087球队中国男篮队对德国男篮年奥运会抓阄问题例肯定异常队是否进入八强的比赛这场比赛是关系到中国,仅够得一位同学可北京理工大学某班会异常精彩30,,,,决定法抽签只好采取抓阄的办大家都想去看一张票得此票的机会是否试问每人抽取每个人都争先恐后地抽.?均等解,30,,2,1,则个人抽得球票第设iiAi1AP301率为第一个人抽得球票的概概率论率为第二个人抽得球票的概2AP2121AAAAP2121AAPAAP210AAP121|AAPAP2913029301,,必须在他抽取之前个人要抽得比赛球票第同理i,1即事件一起出现个人都没有抽到此票的的iiiiAAAAPAP12111121||iiAAAPAAPAP130129283029i,301.30,,2,1i.,301,即机会均等是各人抽得此票的概率都所以概率论三、小结这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.概率论四、布置作业习题一,14,15,16,17