概率2-4随机变量函数的分布

概率论第四节连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的连续型随机变量小结布置作业概率论连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.概率论则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度.一、连续型随机变量及其概率密度的定义xFxftdt有,使得对任意实数,x对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),,xPXx连续型随机变量的分布函数在上连续R概率论二、概率密度的性质1o0)(xf2o1)(dttff(x)xo面积为1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度的充要条件概率论利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率对于任意实数x1,x2,(x1x2),32112{}()xxPxXxfxdx若f(x)在点x处连续,则有4()().Fxfx概率论故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.x],(xxx若x是f(x)的连续点，则对f(x)的进一步理解:0limxFxxFxfxx0limxPxXxxx概率论若不计高阶无穷小，有xxfxxXxP)(}{表示随机变量X取值于的概率近似等于.],(xxxxxf)(xxf)(在连续型r.v理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型r.v理论中所起的作用相类似.概率论要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xoa概率论(1)连续型r.v取任一指定实数值a的概率均为0.即这是因为请注意:xaFaFaXxaPaXP00.PXa0,x当时得到0.PXa概率论)()(bXaPbXaP)(bXaP(2)对连续型r.vX,有)(bXaP由P(B)=1,不能推出B=由P(A)=0,不能推出A概率论2713)(2;1,043,2230,)(1XPxFXkxxxkxxfX）求（；的分布函数）求（）确定常数（其它具有概率密度设随机变量例概率论其它解,043,2230,)(xxxkxxf611)()1(kdxxf得由0x34概率论4,143,22630,60,0)()2(3300xxdttdttxdttxxFxx分布函数0x34xxxx,xFxftdtx概率论4,143,42330,120,0)(22xxxxxxxxF即分布函数48411272713FFXP）（概率论1.均匀分布则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，X～U(a,b))(xfab其它,0,1)(bxaabxf三、三种重要的连续型随机变量若r.vX的概率密度为：记作概率论abldxablcXcPblccalcclbaUXlcc1,),,(.1),,(~有的区间对于长度为若bxbxaabaxaxxXPxFX1,,0)(.2的分布函数为：概率论公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；概率论例2某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解依题意，X～U(0,30)以7:00为起点0，以分为单位其它,0300,301)(xxf概率论为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：}3025{}1510{XPXP3130130130251510dxdx即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，概率论指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.2.指数分布若r.vX具有概率密度1,0,0,xθexfxθ其它,0θ其中为常数,则称X服从参数为的指数分布.θ概率论其它,00,1)(/xexXPxFx若X服从参数为的指数分布,则其分布函数为θ事实上,xFxftdt0xxxxFxftdt0xdt0x当时,0x当时,xFxftdt00dt01txθedtθ概率论3.正态分布若连续型r.vX的概率密度为xexfx,21)(222)(记作其中和(0)都是常数,则称X服从参数为和的正态分布或高斯分布.σ2(,)XN概率论:具有下述性质xf;12dxxf;01xf事实上,22212xμσfxdxedxπσ22212xμσedxπσ222022xμσedxπσ1概率论,2xμtσ令则有dxxfdtet202122曲线关于轴对称；fx3PμhXμPμXμh0h202tπedt概率论xexfx,21)(222)(xexfx,21)(222)(函数在上单调增加,在上fx4(,]μ[,)μ单调减少,在取得最大值；xμ22()23,2xμσμxfxexπσx=μσ为f(x)的两个拐点的横坐标；522()2223(),2xμσxμσfxexπσ概率论当x→∞时，f(x)→0.xexfx,21)(222)(f(x)以x轴为渐近线6根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.概率论决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点),(2N概率论设X~,),(2NX的分布函数是正态分布的分布函数),(2N222()21,2tμxσFxedtxπσ概率论正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布。标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布概率论1,0的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用和表示：)(x)(x标准正态分布3221,2txxedtxπ221,2xφxexπ概率论)(x)(x概率论的性质:;2101dtet02221021212122dtet;1,2xxRxdtexxt2221事实上,221()2txxedtxπ概率论22112uxeduπx1标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理1.1,0~,,~2NXZNX则若2212uxuteduπ概率论.1,0~,,~2NXZNX则若证Z的分布函数为dtexXPxXPxZPxt22221,tu令则有duexZPxu2221x概率论根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题..1,0~NXZ故xxXPxXPxFNXX2,~于是概率论书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(当x0时,表中给的是x0时,Φ(x)的值.4概率论),,(~2NX若若X～N(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abXY~N(0,1)则概率论由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743准则5概率论将上述结论推广到一般的正态分布,6826.0)|(|YP9544.0)2|(|YP9974.0)3|(|YP可以认为，Y的取值几乎全部集中在]3,3[区间内.这在统计学上称作“3准则”.XY~N(0,1)时，2(,)XN概率论标准正态分布的上分位点α~0,1,XN设若数满足条件αz,01αPXzαα则称点为αz标准正态分布的上分位点.α)(x1ααzzαzαz11αPXzα1αPXzααPXzα6概率论解P(X≥h)≤0.01或P(Xh)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h.看一个应用正态分布的例子:例公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?设车门高度为hcm,按设计要求概率论因为X～N(170,62),故P(Xh)=查表得(2.33)=0.99010.996170h因而=2.33,即h=170+13.98184设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(Xh)0.99求满足的最小的h.)1,0(~6170NX所以.17017066XhP1706h概率论这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布.即均匀分布、指数分布、正态分布.其中正态分布的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布.四、小结概率论习题二13,14,16五、布置作业