概率2-5随机变量及其分布

概率论第五节随机变量的函数的分布问题的提出离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布小结布置作业概率论一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.42d求截面面积A=的分布.比如，已知圆轴截面直径d的分布，概率论在比如，已知t=t0时刻噪声电压V的分布，求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等.t0t0概率论设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？下面进行讨论.这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.概率论二、离散型随机变量函数的分布解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13，例1设X3.055.02.021求Y=2X+3的概率函数.～3013502075...~Y而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.故概率论如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般地，若X是离散型r.v，X的分布律为Xnnpppxxx2121～则Y=g(X)～nnpppxgxgxg2121)()()(概率论如：X1.016.03.001～则Y=X2的分布律为：406010..Y～概率论三、连续型随机变量函数的分布例2设X~其它,040,8/)(xxxfX求Y=2X+8的概率密度.概率论例3设X具有概率密度,求Y=X2的概率密度.)(xfX)(xFX)(yFY解设Y和X的分布函数分别为和，概率论若exxfX2221)(则Y=X2的概率密度为：0,00,21)(221yyyfeyyY,x概率论从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中，关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X,从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式.例如，用代替{2X+8≤y}{X}28y用代替{X2≤y}}{yXy这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率.这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.概率论例4已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布.下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.概率论其它,0,)()]([)(11ydyydgygfyfY其中，),(minxgbxa),(maxxgbxaX=是y=g(x)的反函数.定理设X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且是严格单调函数，则Y=g(X)是一个连续型r.v.，它的概率密度为()gx此定理的证明与前面的解题思路类似1()gx概率论xexfxX,21)(222)(解baxxgy)(的概率密度为随机变量Xabyyhx)(解得ayh1)(的概率密度为所以baXYyabyfayfXy),(1)(例5设随机变量服从正态分布，证明),(~2NXbaXY也服从正态分布.概率论yeaeayfaabyabyy22222)(2)(21211)(即2)(,~abaNbaXY所以概率论四、小结对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用X的分布来求P{g(X)≤y}.这一节我们介绍了随机变量函数的分布.概率论习题二21,23,24五、布置作业