函数连续性的应用研究

函数连续性的性质及其应用研究摘要函数连续性的定义对分析函数的性质，以及讨论由实际问题所建立起的函数的性质、并通过这些性质解决实际问题具有重要理论与实际意义。对函数连续性的研究一直受到人们的重视，经过多年不懈地研究，很多学者都取得了不少的研究成果，但对函数连续性的应用研究进行总结，以及将函数的连续性应用于新的领域是非常有意义的。本文围绕函数连续性的应用展开讨论，首先讨论了函数连续性的定义，其次讨论了函数连续性的性质，最后重点介绍了函数连续性的应用。关键词：函数连续性应用ApplicationoftheContinuityofFunctionAbstractFunctiondefinitionofthecontinuityofthenatureoftheanalysisfunctions,andtodiscusspracticalissuesestablishedbythenatureofthefunction,andsolvepracticalproblemsthroughthesepropertieshaveimportanttheoreticalandpracticalsignificance.Continuityofthefunctionhasbeenmuchattention,afteryearsoftirelessresearch,manyscholarshavemadealotofresearchresults,buttheapplicationofthecontinuityofthefunctiontosumup,aswellasthecontinuityofthefunctionappliedtothenewareaisverysignificant.Thispaperfocusesontheapplicationofthecontinuityofthefunctiontodiscuss,firstdiscussthedefinitionofcontinuityoffunction,followedbydiscussionofthenatureofthefunctioncontinuity,andfinallyfocusesontheapplicationofthecontinuityfunction.Keywords:funcation;continuity;application一、前言（一）相关的背景和意义高等数学是工科学生一门十分重要的基础课，也是高职工科院校各专业学生一门必修的重要基础理论课。通过这门课程的学习，使学生受到必要的数学理论和数学方法训练，它为许多包括专业课在内的后续课程做下铺垫。由于它的理论性强，概念抽象而且深刻，令许多学生畏惧叫苦。而函数的连续性问题是函数理论中最基本最重要的问题之一，连续性是自然界中广泛存在的一种性质，它是描述变量之间最基本的连续关系的概念。学习函数连续性的重要性在于：高等数学中的函数连续性与间断点等内容具有承上启下的作用，对于函数连续性的掌握、函数极限的运算、零点定理、介值定理以及一致连续性等方面的学习都具有重要的意义，因此，研究函数理论及应用具有理论和应用的双重意义。（二）相关的文献综述关于函数连续性的问题，很多学者都做了研究，主要有：李敏，刘戍军（2002）在试论利用函数连续性求极限中,对两个重要极限的应用作了进一步讨论，并给出其规律性。对于处理“0/0”,“1”未定型的极限起到了重要的作用。李静，李义成（2004）在介值定理及其应用中讨论了连通域上连通函数的性质及封闭凸曲线及空间凸体的外切正方形，得到了一些有用的结果。金友良（2007）在关于一元函数连续性的几个问题中阐述了一元函数在某点连续的论证、函数的间断点、复合函数的连续性、初等函数的连续性及最值点问题，更加深刻地理解一元函数连续性这一重要概念。潘闻天、杨兴东（1999）讨论了函数连续性在求极值、函数有界性、压缩映射及其不动点等的应用。虽然这些研究已经很深入，但笔者认为对函数连续性的应用还可以做进一步的研究。二、函数连续性的定义（一）函数在一点的连续性定义1[1]设函数f在某0U()x内有定义，若00lim()()xxfxfx，则称f在点0x连续。（二）一致连续性定义2[1]设f为定义域在区间I上的函数，若对任何的ε0,存在δ=δ(ε)0,使得对任何''',xxI,只要'''||xx，就有|f('x)-f(''x)|ε，则称函数f在区间I上一致连续.三、函数连续性的性质[1]（一）连续函数的局部性质定理1(局部有界性)若函数f在点0x连续，则f在某0U()x内有界。定理2(局部保号性)若函数f在点0x连续，且0()0fx（或0），则对任何正数00()(())rfxrfx或,存在某0U()x，使得对一切0xU()x有()(())fxrfxr或.定理3(四则运算)若函数f和g在点0x连续，则0,,/(()0)fgfgfggx这里也都在点0x连续。定理4若函数f在点0x连续，g在点0u连续，00()ufx，则复合函数fg在点0x连续。（二）闭区间上连续函数的基本性质定理5（最大、最小值定理）若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值。定理6（介值性定理）设函数f在闭区间[a,b]上连续，f(a)≠f(b).若μ为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a)μf(b)或f(a)μf(b)）,则至少存在一点0x∈(a,b),使得f(0x)=μ.（三）反函数的连续性定理7若函数f在[a,b]上严格单调并连续，则反函数1f在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续。定理8（一致连续性定理）若函数f在区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上一致连续。（四）初等函数的连续性定理9一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数。定理10任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。四、函数连续性的应用（一）连续性在求函数极限中的应用通过函数连续性的意义分析连续问题实质是一种极限问题，形式上说，它表明了连续函数的记号f与极限的记号0limxx的可交换性。所以当我们知道某个函数是连续函数时，求极限的问题可以转化为一个非常简单的求函数值问题，特别是以上的定理9和定理10，在理论上说明了连续函数的广泛程度，而实际上提供了一个求初等函数极限的简便方法。总结出一个求初等函数极限一般的方法：先判断所给的极限函数是不是初等函数，若所给的极限函数f(x)是初等函数，并且自变量是趋向于它们定义域中某一点0x，那么，只须将0x代人f(x)，即可计算出f(x)在0x的函数值，就立刻得到想要求的0lim()xxfx的值了。例1求0ln(1)limcosxxx解：ln(1)cosxx是初等函数，点x=0是它定义域中的点，所以0ln(1)ln(10)lim(0)0coscos0xxfx例2求1102lim()3xxxxx分析：所给函数是否初等函数，从目前的函数关系表示尚看不出来，是一种所谓的“幂指函数”，但若采用“先对数，后指数”的方法，将它改写成11221212log()log13132()223xxxxxxxxxxxx即可将它看成是初等函数212log13xxuxx与基本初等函数2uy复合一次的结果，故是一个初等函数，而x=0是它的定义域中的点，所以很容易可以求出结果。解22211210202logloglog113103030022lim()lim22233xxxxxxxxxx例3求01limxxex.分析：x=0不是初等函数1xex定义域中的点，不能直接运用我们的一般方法求解，但利用对数运算性质，令t=1xe,则有x=ln(1+t)，函数变为1ln(1)xetxt解0000111limlimln(1)1ln(1)limlim[ln(1)]xxtttettxtttt110011111ln1limln(1)ln(lim(1))xxttett注；本题的结果可以作为重要极限的结果，在求其他极限时直接运用。它常对某些包括指数、对数运算及幂运算的所谓“00”不定式的极限求法有很大帮助。例4求2144lim22xxx分析因为点x=2不在初等函数14422xx的定义域中，所以不能直接用一般方法求解，但是，注意到分子在x=2时也是零，所以我们用消去零因子的方法，先将分子、分母分别均乘上它们各自的共轭因式144x与22x，使零因子x-2分离出来，然后消去，得到一个新的初等函数，对于这个函数，点x=2在其定义域内，再进行求解。解222214414414422limlim222222144(2)2222limlim(2)14414422241822144xxxxxxxxxxxxxxxxxx（二）介值定理的应用1、判定方程f(x)=0在区间[a,b]内是否有根若f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)*f(b)0,由介值定理知，f(x)=0在[a,b]上必定有根。例如证明方程32()1fxxx在x∈(0,1)内必定有根。证明设32()1fxxx，它在[0,1]连续，又f(0)=-10，f(1)=10故对于介于f(0)与f(1)之间的介值c=0，根据介值定理可知，必存在ξ∈（0,1），使f(ξ)=0即3210，这说明x=ξ是方程321xx的根。2、求方程的根达到的指定精确度的近似值例如求32()1fxxx中根ξ的一个近似值。解先取[0,1]的中点0.5，因f(x)=32(0.5)(0.5)-10，所以[0.5,1]中至少存在一个根，再取[0.5,1]的中点0.75，算得f(0.75)0,则[0.75,1]中至少存在一个根，不断这样作下去，可将一定存在一个根的范围缩小到很小的一个区间，以致这个小区间的长度小于所指定的精确度。这时，我们就可以取小区间的左端点（或者右端点）作为根ξ的一个不足（或者过剩）近似值，它与根ξ的精确值误差已不超过所指定的精确度。(三)判断函数在区间上是否有界若f(x)在区间[a,b]连续，则f(x)在区间[a,b]有界。例如判断函数f(x)=arcsinx在区间[-1,1]上是否有界解因为f(x)=arcsinx是初等函数，在定义域连续f(-1)=-1.57,f(1)=1.57所以-π/2≤f(x)≤π/2，即有界.（四）利用连续性求表达式中的常数例如选择a的值，使下面的函数处处连续2,1()sin,1.2xxfxaxx≥，解当x1时，f(x)=2x连续；当x1时，f(x)=sin2ax连续，又因11lim()lim(sin)2xxfxax=a，112lim()lim2xxfxx，而f(1)=2所以必须取a=2(五)求闭区间上连续函数最值点闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定在该区间上取得最大值和最小值，要注意f(x)必须满足在[a,b]上连续，若有一点使f(x)不连续，则结论就不成立。例1设f在[a,+∞）上连续，且limxf(x)存在。证明：f(x)在[a,+∞）上有界，又问f在[a,+∞）上必有最大值或最小值吗？证明因为limxf(x)存在（设极限为B），可以推出：对ε=1，存在M0,当xM（Ma）时，有|f(x)-B|ε=1①∴|f(x)|≤|f(x)-B|+|B|=|B|+1而在闭区间[a,M]上，因为f(x)连续，所以有界，即存在N0,使任意x∈[a,M],有|f(x)|N,∴任意x∈[a,+∞），恒有|f(x)|max{|B|+1，N}即f(x)在[a,+∞）上有界但它未必有最大值，也未必一定有最小值。如f(x)=arctanx在[a,+∞）上无