蚂蚁爬行的最短路径

第1页共16页蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．AB=51222．3．（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm．解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．第6题第2页共16页AB4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A．A⇒P⇒BB．A⇒Q⇒BC．A⇒R⇒BD．A⇒S⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A．故选A．5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）解：如图，AB=1012122．故选C．AB1216．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）第3页共16页解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，所以MC=21BC=1，在直角三角形中AM==．7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是cm。解：将盒子展开，如图所示：AB=CD=DF+FC=21EF+21GF=21×20+21×20=20cm．故选C．8.正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为.解：将正方体展开，连接M、D1，根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2=3，MD1=132322212DDMD．第7题第4页共16页ABA1B1DCD1C1214ABA1B1DCD1C12149．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB==cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==25．11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为.第5页共16页解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1，△ABC1是直角三角形，∴AC1=5342142222212BCAB12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。解：由题意得，路径一：AB==；路径二：AB==5；路径三：AB==；∵＞5，∴5米为最短路径．13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．解：（1）AB的长就为最短路线．然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为（cm）；第6页共16页若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为（cm），或（cm）所以蚂蚁经过的最短路程是cm．（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是30cm．14．如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？解：图1中，cm．图2中，cm．图3中，cm．∴采用图3的爬法路程最短，为cm15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，第7页共16页则所走的最短线段是=6cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，所以走的最短线段是=cm；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，所以走的最短线段是=2cm；三种情况比较而言，第二种情况最短．16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）×3cm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故答案为25．17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是cm。解：将台阶展开，如下图，因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，所以AB=13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm．第8页共16页解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程．解：在Rt△ABD中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8，所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172．所以AB=17cm．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．20．（2009•佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点B1到最短路径的距离．第9页共16页解：（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC'1D1和ACC1A1．故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A1C'1和AC1．（2分）（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，爬过的路径的长是．（3分）蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是．（4分）l1＞l2，故最短路径的长是．（5分）（3）作B1E⊥AC1于E，则••为所求．（8分）21．有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离.解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C，D分别是BE，AF的中点．AF=2π•5=10π．AD=5π．AC=22CDAD≈16cm．故答案为：16cm．22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为.第2题第10页共16页解：AB=1312522mAB51223．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为6，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为．解：因为圆柱底面圆的周长为2π×6=12，高为5，所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为=13．故蚂蚁爬行的最短距离为13．24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则AD=24×21=12cm．第3题第11页共16页又因为CD=AB=9cm，所以AC==15cm．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm．故答案为：15．25．（2006•荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm．（结果用带π和根号的式子表示）解：QA=3，PB1=2，即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中，根据勾股定理得：QP=26．同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图．第12页共16页如图，将正方体中面ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所示的位置，连接AM，即是这条最短路线图．27．如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是.解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=1804n，∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，∴在圆锥侧面展开图中AP=2，AB=4，∠BAP=90°，∴在圆锥侧面展开图中BP=5220，∴这只蚂蚁爬行的最短距离是52cm．故答案是：52cm．28．如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB=150°，D为VB上一点，VD=．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（）第5题第13页共16页解：==，∴设弧BC所对的圆心角的度数为n，∴=解得n=90，∴∠CVD=90°，∴CD==4，29．已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程长为。解：连接AA′，作OC⊥AA′于C，∵圆锥的母线长为5cm，∠AOA1=120°，∴AA′=2AC=53．30．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是.解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，18042n，解得n=90°，第4题第14页共16页所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：24321616．31．（2006•南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是。解：由题意知底面圆的直径=2