概率7-2

数理统计第二节估计量的评选标准无偏性有效性相合性小结布置作业数理统计样本均值是否是的一个好的估计量？(2)怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？样本方差是否是的一个好的估计量？2这就需要讨论以下几个问题:(1)我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？(3)如何求得合理的估计量？X~N()2,μσ数理统计估计量的评选标准在介绍估计量的评选标准之前，我们必须强调指出：评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量.这是因为估计量是样本的函数,是随机变量.因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值.因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性.数理统计常用的几条标准是：1．无偏性2．有效性3．相合性这里我们重点介绍前面两个标准.数理统计估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值.这就导致无偏性这个标准.一、无偏性)ˆ(E则称为的无偏估计.ˆ),,(ˆ1nXX设是未知参数的估计量，若数理统计例如，用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差.无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求.无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差.数理统计例1设总体X服从参数为的指数分布,其概率密度为1,0,0,xθexfxθ其它,0θ其中为未知,θX1,X2,…Xn是取自总体的一个样本,试证和都是参数的无偏估计量.1min(,,)nXnZnXXθ数理统计证,EXθEXθ所以是参数的无偏估计量.θX而1min(,,)nZXX具有概率密度min,0,;0,nxθnexfxθθ其它,故知,θEZnEnZθ即也是参数的无偏估计量.θnZ数理统计所以无偏估计以方差小者为好,这就引进了有效性这一概念.的大小来决定二者谁更优.21)ˆ(E和2ˆ1ˆ一个参数往往有不止一个无偏估计,若和都是参数的无偏估计量，我们可以比较22)ˆ(E211)ˆ()ˆ(ED由于222)ˆ()ˆ(ED数理统计二、有效性D()≤D()2ˆ1ˆ则称较有效.2ˆ1ˆ都是参数的无偏估计量，若对任意，),,(ˆ11nXX),,(ˆˆ122nXX1ˆ设和θ且至少对于某个上式中的不等号成立，θ数理统计例2(续例1)试证当n1时的无偏估计量较有效.1min(,,)nXZXXθ证2,DXθ221111()()nniiiiθDXDXDXnnn故有22,θDZn而故有2.DnZθ当n1时,(),DnZDXXnZ故较有效.数理统计三、相合性任意，当时依概率收敛于,则称为的相合估计量.设θn是参数的估计量，若对于1(,,)nθXX1(,,)nθXXθθθ12(,,...,)nθXXX为的相合估计量θ12(,,...,)nθXXX0ε对于任意,有12lim{|(,,...,)|}1,nnPθXXXθεθ数理统计由辛钦定理若总体的数学期望有限,EXμX则有11nkkiiAXn()(1,2,)PkkEXμk12(,,,)kgAAA12(,,,)Pkgμμμ其中为连续函数.g数理统计故11nkkiiAXn()(1,2,)kkEXμk为的相合估计量.若为连续函数,g12(,,,)kgAAA12(,,,)kgμμμ为的相合估计量.则有数理统计四、小结对于一个未知参数可以提出不同的估计量,因此自然提出比较估计量的好坏的问题，这就需要给出评定估计量好坏的标准.在本节中,介绍了评定估计量好坏的三个标准:无偏性、有效性、和相合性.数理统计五、布置作业概率论与数理统习题七7,9