概率6-2

数理统计第二节样本及抽样分布统计量与经验分布函数统计三大抽样分布几个重要的抽样分布定理课堂练习小结布置作业数理统计由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工与计算”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.1.统计量这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.一、统计量与经验分布函数数理统计定义12121212,,,(,,,),,,(,,,).nnnnXXXXgXXXXXXggXXX设是来自总体的一个样本，是的函数，若中不含未知参数，则称是一个统计量请注意:12121212X,,,,,,(,,)(X,,).nnnnXXXxxxgxxxgXX设是来自总体的一个样本是一个样本的观察值则也是统计量的观察值数理统计221211233225,3XXXXXXXX，是不是统计量？2122221312 ,,...,?(,)3,45nXXXXNXXXX例子:设是从总体　中抽取的样本，其中参数未知，已知，则是不是统计量？数理统计几个常见统计量样本平均值niiXnX11它反映了总体均值的信息样本方差niiXXnS122)(11它反映了总体方差的信息niiXnXn12211样本标准差niiXXnS12)(11数理统计nikikXnA11它反映了总体k阶矩的信息样本k阶原点矩样本k阶中心矩nikikXXnB1)(1k=1,2,…它反映了总体k阶中心矩的信息数理统计统计量的观察值221111;()1nniiiixxsxxnn211();1niisxxn1111,()1,2,1nnkkkikiiiaxbxxknn211();1niisxxn数理统计次序统计量1212(1)(2)()()()(1)(2)()12(),,...,?,,..., ... ,,,...,?(1,2,...,)? ,,...,??  .nnnkknniXXXxxxxxxXxXXXknXXXXi定义　设是取自总体　的样本．记　是样本的任一个观测值，将它们按由小到大的顺序重新排列为若则称为样本的次序统计量，称为第个次序统计量数理统计(1)12()12min{,,...,},max{,,...,}nnnXXXXXXXX特别.分别称为最小次序统计量和最大次序统计量数理统计12(1)(2)()()(1)()()(1)(),,,.()0,(),,(1,2,,1)1,nnnnkknxxxnxxxFxxxkFxxxxknnxx一般，设是总体的一个容量为的样本值将它们按大小次序排列如下：则经验分布函数的观察值为若若若2.经验分布函数数理统计33112()0,12(),2,31,2FxxFxxx例设总体X具有一个样本值，，，则经验分布函数的观察值为若若1若数理统计二、统计三大抽样分布)(~22n记为2分布1、定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布.nXXX,,,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布.数理统计2分布图像数理统计2分布的密度函数为000)2(21);(2122xxexnnxfxnn来定义.其中伽玛函数通过积分0,)(01xdttexxt)(x数理统计11,0()()0,00,0,xxexfxx分布：若随机变量的密度函数由下式给出其中则称服从分布.其中212100()2tstedtseds2211001200(1)211()22tststedtsedstedtedsGamma函数数理统计12ki12k12,,...,(,)(1,2,...,),...(...1,).ijkik定理：若相互独立，且服从分布则它们的和服从1112221111111222221(),(0,)()1(),(0,)()xxfxxexfxxex证明.先证k=2的情形.由设之密度函数是12,数理统计1211211()()()fxfxfxxdx1112121()111110211()()()xxxxxxxedx由卷积公式,得12121111110211()()()xxexxxdx121211211()xex数理统计12121211121211112+(1,).()()(1)()xxdx10即服从最后一等式是由于公式B(,)=1212211111111111()=(1)xxxxxxdxxxdxx001122111111=()(1)()xxxxxdxxx012121111=((1))yydyx0数理统计),,(2N1.设相互独立,都服从正态分布nXXX,,,21则)(~)(121222nXnii).(~21221nnXX则),(~),(~222121nXnX这个性质叫分布的可加性.2分布的性质2(应用中心极限定理可得)2．设且X1,X2相互独立，2223.~(),,n若分布的数学期望与方差22(),()2EnDn数理统计2iiiX~N(0,1),E(X)=D(X)=1事实上，由故2422()()[()]312iiiDXEXEX222211()(),()()2.nniiiiEEXnDDXn数理统计22444221012()22xxEXxedxxedx122024(2)2uueudu55212022uuedu5252()232数理统计555()(1)(1)2221()2331(1)()2224．若,),(~22充分大时则当nn22nn的分布近似正态分布N(0,1).数理统计分布的分位点2.5)(222)()(ndyyfnP,10，对于给定的正数称满足条件.382.34)25()(.)()(20.1222可通过查表求，例如图所示分位点，分布的上为的点nnn)(2n数理统计概率密度函数为：122[(1)2]()(1),(2)nnthttnnn定义设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量nYXt所服从的分布为自由度为n的t分布.)(2n2、t分布).(~ntt记为分布的分布又称为学生氏分布)(.ntt数理统计t分布图像数理统计分布的性质：t)2()2()(,0)(),(~.1nnntDtEntttn与方差为：其数学期望分布的具有自由度为2.0.,ttn分布的密度函数关于对称当充分大时其图形近似于标准正态分布概率密度的图形.).1,0(~Ntn近似足够大时，即当数理统计..)()(如图所示分位点分布的上为的点ntnt)(nt)()()(ntdtthnttp称满足条件，对于给定的分布的分位点,10.3t数理统计)(nt)()(1ntntt分位点的性质：分布的上.1315.2)15()(025.0tntt求得，例可查表分位点分布的上数理统计由定义可见，3、F分布121nUnVF~F(n2,n1)),(~),(~2212nVnU定义设U与V相互独立，则称随机变量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作21nVnUFF~F(n1,n2).数理统计即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.0001)()()()()()(2222221211211212121yyyyynnnnnnnnnnnn1.F分布的数学期望为:2)(22nnFE若n22若F~F(n1,n2)，F的概率密度为分布的性质F数理统计),(21nnF2.F分布的分位数称满足条件，对于给定的,10),(2121)(),(nnFdyynnFFp..),(),(2121如图所示分位点分布的上为的点nnFnnFF分布的上分位点的性质：),(1),(12211nnFnnF357.080.21)12,9(1)9,12(,.05.095.0FFF例分位点可查表求得分布的上数理统计12121212{(,)(,)}11{}(,)(,)PFnnFnnPFnnFnn21121{(,)(,)}1PFnnFnn21121{(,)}1(,)PFnnFnn数理统计数理统计三、几个重要的抽样分布定理P169有和样本方差则样本均值来自总体的一个样本，是，，方差为的均值为设总体2212,,,XSXXXXn2(),(),EXDXn22)(SE数理统计当总体为正态分布时，给出几个重要的抽样分布定理.22211()1niiEsEXnXn事实上2211()()1niiEXnEXn22222111ninnn数理统计定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是来自正态总体),(2N的样本，是样本均值，则有),(~2nNX)1,0(~NnX即X数理统计01~(,)XNnn取不同值时样本均值的分布X请注意:.X2本均值可用本定理计算样时，，在已知总体),(~2nNX数理统计定理2(样本方差的分布))1(~)1()1(222nSn设X1,X2,…,Xn是来自正态总体),(2N的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差,则有.)2(2独立与SXn取不同值时的分布22(1)nS数理统计定理3(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差,则有~(1)XtnSn且相互独立分布的定义可得、由定理证)1(~)1(,)1,0(~t2,1222nSnNnX22(1)~(1)(1)XnStnnn则.X2本均值时，可用本定理计算样，在未知总体数理统计定理4(两总体样本均值差、样本方差比的分布))2(~112)1()1()(221212122221121nntnnnnSnSnYX、2212~(,)~(,)XNYN设，，YX和分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,1nX是来自X的样本,是取自Y的样本,这两个样本的样本方差,则有2221SS和Y1,Y2,…,2nY样本均值，分别是数理统计221122~(,)~(,)XNYN设，，YX和分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,1nX是来自X的样本,是取自Y的样本,这两个样本的样本方差,则有2221SS和Y1,Y2,…,2nY样本均值，)1,1(~12122222121nnFSS、定理5样本方差比的分布数理统计四、例题例122(12,),25,12.5.(1.)225.57XNXS设总体服从正态分布抽取容量为的样本求样本均值大于的概率如果已知；（）未知，但已知样本方差解1212.512(1)12.5225225XPXP1063.0)25.1(125.1