概率5-1极限定理初步

概率论第一节大数定律大数定律依概率收敛定义及性质小结概率论大量随机试验中大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率……有稳定性测量值的算术平均值具某一常数事件发生的频率稳定于概率论一、大数定律定理1（切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫则对任意的ε0，有12,,nXXX设随机变量，，相互独立，且具有相同的数学期望和方差：212(),()(,,).kkEXDXk1}|1{|lim1niinXnP}|{|limXPn11XnnkkX做前n个随机变量的算术平均概率论证nkkXnE11由于nn1nkkXEn1)(1nkkXnD11nkkXDn12)(1nnn2221由切比雪夫不等式22111nXnPnkk上式中令n得1}|1{|lim1niinXnP概率论　　说明.,2,1XE1X,211有的稳定性），这种接近说明其具（）（接近数学期望的算术平均随机变量定理以数学形式证明了、nkXnXXkniin.1}|1{|11于时，这个事件的概率趋当是指一个随机事件，、定理中nXnnii.常数收敛的意义下逼近某一算术平均值是依概率这种稳定性的含义说明概率论二、依概率收敛定义及性质定义12,,...,,....nXXXX设是一个随机变量序列，是一个随机变量若对于任意正数有lim{||}1nnPXX12,,,..nPnXXXX则称序列X依概率收敛于X记为特别12,,,,,,nXaaXXa当是一个常数时随机变量序列X以概率收敛于常数即lim{||}1nnPXa概率论,(,)(,)(,)(,).PPnnPnnXYbgxyabgXYgab设a，又设函数在点连续，则01.nnnXanXaXa依概率收敛于，意味着对任意给定的，当充分大时，事件的概率很大，接近于；并不排除事件的发生，而只是说他发生的可能性很小性质.依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱些，它具有某种不确定性请注意:概率论的另一种叙述形式定理11221,,,(),()1(1,2,).nkknkkPXXXEXDXkXXnX设随机变量，相互独立，且具有相同的数学期望和方差：，则序列依概率收敛于，即概率论问题:伯努利设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，nnA是事件A发生的频率.事件发生的频率能否代替事件的概率，频率是否具有稳定性呢？概率论设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε0，有定理2（贝努里大数定律）1}|{|limpnnPAn或伯努利0}|{|limpnnPAn证明nAAXXXnpnbn21),,(~由此可表示为因为),1()()(.10ppXDpXEpkk，因而分布）以为参数的（从以其中相互独立，且都服概率论即得由定理11}|)(1{|lim21pXXXnPnn}|{|limpnnPAn证毕注贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.0}|{|limpnnPAn或.替事件的概率事件发生的频率可以代概率论下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列X1,X2,…相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对于任意正数ε，有定理3（辛钦大数定律）1}|1{|lim1niinXnP辛钦概率论1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.注2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性.要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如n块地.计算其平均亩产量，则当n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.概率论例在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.否则次取到号码第001kXk设，k=1,2,…问对序列{Xk}能否应用大数定律？nkknXnP11}|1.01{|lim即对任意的ε0,解:,9.01.001~kXk=1,2,…E(Xk)=0.1,诸Xk独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.概率论三、小结大数定律大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性2)()(kkXDXE)(kXE),(~pnbnA大数定律伯努利1}|{|limpnnPAn大数定律切比雪夫1}|1{|lim1niinXnP大数定律辛钦1}|1{|lim1niinXnP