抛物线复习课(优秀的)

抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考要点：1．考查抛物线的定义、方程，常与求参数和最值等问题相结合．2．考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题．3．多与向量交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．抛物线yxo二次函数是开口向上或向下的抛物线。抛物线的生活实例探照灯的灯面请同学们观察这样一个小实验？平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。（注意：F不在I上）定点F叫做抛物线的焦点。定直线L叫做抛物线的准线。抛物线的定义的轨迹是抛物线。则点若MMNMF,1即:︳︳︳︳··FMLNxyo··FMlNK设︱KF︱=p则F（，0），L：x=-p2p2设动点M的坐标为（x，y）由抛物线的定义可知，化简得y2=2px（p＞0）22)2(pxypx2解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴抛物线标准方程的推导(p0)即右焦点F（，0），左准线L：x=-p2p2但是，对于一条抛物线，它在坐标平面内的位置可以不同，所以建立的坐标系也不同，所得抛物线的方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。方程y2=2px（p＞0）表示的抛物线，其焦点位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴抛物线的标准方程yxo﹒图形标准方程焦点坐标准线方程不同位置的抛物线y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0))0,2(pF)0,2pF(-)2,0(pF)2,0(pF-2=px-2=px2=py2=py-yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒抛物线方程左右型标准方程为y2=+2px(p0)开口向右:y2=2px(x≥0)开口向左:y2=-2px(x≤0)标准方程为x2=+2py(p0)开口向上:x2=2py(y≥0)开口向下:x2=-2py(y≤0)抛物线的标准方程上下型补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【助学·微博】一个重要转化一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点自测1．抛物线y2＝4x的焦点F到准线l的距离为()．A．1B．2C．3D．4解析该抛物线的焦点F(1,0)，准线l为：x＝－1.∴焦点F到准线l的距离为2.答案B抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考2．设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是()．A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x解析由准线方程x＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F(2,0)；②该抛物线的焦准距p＝4.故所求抛物线方程为y2＝8x.答案C抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考3．(2012·四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()．A．22B．23C．4D．25抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案B解析∵M(2，y0)在抛物线上，∴抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p0)，其准线方程为x＝－p2.由抛物线的定义，M到该抛物线准线x＝－p2的距离为3，即2＋p2＝3，故p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.∵M(2，y0)在抛物线上，∴y20＝8.由两点间的距离公式知|OM|＝22＋y20＝4＋8＝23.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考4．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案y2＝4x抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案65．(2013·新乡模拟)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x26－y23＝1的右焦点重合，则p的值为________．解析双曲线x26－y23＝1的右焦点F(3,0)是抛物线y2＝2px的焦点，所以p2＝3，p＝6.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向一抛物线的定义及其应用【例1】►已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．[审题视点]由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵62，∴A在抛物线内部．如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练1】已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()．A.34B．1C.54D.74抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝3，∵p＝12，∴x1＋x2＝52，∴线段AB的中点的横坐标为x1＋x22＝54.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向二抛物线的标准方程及几何性质【例2】►(1)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．(2)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()．A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[审题视点](1)按焦点所在位置分类讨论求解；(2)由|FM|大于焦点到准线的距离(圆与抛物线相交)，再结合抛物线定义可求．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解析(1)由于点P在第三象限．①当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.②当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把点P(－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p×(－4)．解得p＝12.∴抛物线方程为x2＝－y.综上可知抛物线方程为y2＝－8x或x2＝－y.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)抛物线的准线方程为y＝－2，焦点F的坐标为(0,2)．∵以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，∴|FM|4.据抛物线的定义知：|FM|＝2＋y0，∴2＋y04，∴y02.答案(1)y2＝－8x或x2＝－y(2)C抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练2】(2013·郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()．A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案C解析如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝12|AA1|＝12|AF|，即p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向三抛物线的焦点弦问题【例3】►已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[审题视点](1)利用焦点弦长公式可解；(2)设出C点坐标，找出关于C点坐标的关系式，代入抛物线方程可解．解(1)直线AB的方程是y＝22x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；设C(x3，y3)，则OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横(或纵)坐标的和还是与交点横(或纵)坐标的差．这是正确解题的关键．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练3】若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．解析由题意，得p＝2，直线AB过抛物线的焦点，则|AB|＝2psin2α＝2×2222＝8(α为直线AB的倾斜角)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考设P－y204，y0，则点P到直线AB的距离为d＝y204＋y0＋12，∴△PAB的面积S＝12|AB|·d＝|y20＋4y0＋4|2＝y0＋222≥22，即△PAB的面积的最小值是22.答案22.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考方法优化16——灵活运用抛物线焦点弦巧解题【命题研究】通过近三年的高考试题分析，选择题或填空题主要考查抛物线的基础知识(定义、方程、对称性等)，难度中等，解答题主要考查直线与抛物线的位置关系，但第一问往往是求抛物线的方程，难度较小，第二或第三问难度较大．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【真题探究】►(2012·安徽)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.[教你审题]第1步设A点坐标，由|AF|＝3求A点坐标；第2步求直线AB的方程；第3步联立直线AB与抛物线y2＝4x的方程求B点横坐标．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[一般解法]如图，设点A(x0，y0)，y00，由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1，故|A