高中数学选修2-1椭圆-同步练习

椭圆同步练习一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．1.若椭圆116222byx过点（－2，3），则其焦距为（）A．25B．23C．45D．432.设F1、F2为椭圆42x＋y2＝1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，21PFPF的值为(A)A．0B．1C．2D．213.椭圆221xmy的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．14B．12C．2D．44.已知椭圆的焦点为1F（－1，0）和2F（1，0），P是椭圆上的一点，且21FF是1PF与2PF的等差中项，则该椭圆的方程为（）A．191622yxB．1121622yxC．13422yxD．14322yx5.椭圆31222yx＝１的焦点Ｆ１和Ｆ２，点P在椭圆上，如果线段PＦ１的中点在y轴上，那么｜ＰＦ１｜∶｜ＰＦ２｜的值为（）A．７∶１B．５∶１C．９∶２D．８∶３二、填写题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．6.已知椭圆的长轴的长是短轴的长的５倍，且经过点（１０，－５）则椭圆的标准方程为．7.已知椭圆19822yax的离心率为21，则a=______________.8.椭圆)0(12222babyax且满足ba3，若离心率为e，则221ee的最小值为.三、解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率为22，准线方程为8x；(2)长轴与短轴之和为２０，焦距为54.10.已知椭圆C的焦点分别为)0,22()0,22(21FF和，长轴长为6，设直2xy交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．11.已知椭圆C的焦点分别为)0,22(1F和)0,22(2F，长轴长为6，设直线2xy交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．12.椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率32e，过点C（－1，0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且C分有向线段AB的比为2．（Ⅰ）用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;（Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．13*.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M.若QFMQ2，求直线l的斜率.14*.已知椭圆C的方程为1222yx，点),(baP的坐标满足1222ba．过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（Ⅰ）点Q的轨迹方程；（Ⅱ）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．参考答案一、选择题：1.D2.A3.A4.C5.A二、填空题：6．【答案】12972522yx和1252510122yx．7．【答案】4或458．【答案】613三、解答题：9.【解析】（１）由准线方程为8x，可知椭圆的焦点在x轴上．设所求椭圆的方程为)0(12222babyax，由题意，得.8,222caace解得24a，4c．所以161632222cab．因此，所求椭圆的方程为1163222yx．（２）当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为)0(12222babyax由题意，得.542,2022cba即.20,1022baba解得6a，4b．所以焦点在x轴上的椭圆的方程为1163622yx，同理可求当焦点在y轴上椭圆的方程为1361622yx．10.【解析】设椭圆C的方程为22221xyab由题意1,22,3bca于是221.9xCy椭圆的方程为,0273610192222xxyxxy得由因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同交点，1122121891(,),(,),,(,).555AxyBxyxxAB设则故线段的中点坐标为11.【解析】设椭圆C的方程为12222byax由题意3a，22c，于是1b．∴椭圆C的方程为1922yx由19222yxxy得02736102xx因为该二次方程的判别0，所以直线与椭圆有两个不同交点．设),(),,(2211yxByxA则51821xx，故线段AB的中点坐标为)51,59(12.【解析】(Ⅰ)设椭圆E的方程为12222byax(a＞b＞0)，由e=32ac∴a2=3b2，故椭圆方程x2+3y2=3b2．设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分有向线段AB的比为2．∴0321322121yyxx即21212)1(21yyxx由)1(33222xkybyx消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)13331360)23)(13(4362222122212224kbkxxkkxxbkkkΔ而S△OAB|1|||23|)1(|23||23|2|21||212222221xkxkyyyyy推得:x2+1=－1322k，从而：S△OAB=)0(13||32kkk.（Ⅱ）因S△OAB=23323||1||3313||32kkkk,当且仅当,33kS△OAB取得最大值．此时x1+x2=－1,又∵3221xx=－1∴x1=1,x2=－2．将x1,x2及k2=31代入⑤得3b2=5，∴椭圆方程x2+3y2=5．13.【解析】（1）设所求椭圆方程是)0(12222babyax由已知得21,acmc，所以mbma3,2，故所求椭圆方程是1342222mymx（2）设),(00yxQ，直线)(:mxkyl，则点),0(kmM，当QFMQ2时，由于)0,(mF，),0(kmM，由定比分点坐标公式得3210,322120kmkmymmxQQ，又点)3,32(kmmQ在椭圆上，所以13)3(4)32(2222mkmmm，62k；当QFMQ2时kmkmymmxQQ210,22120，所以13)(4)2(2222mkmmm得，解得0k，故直线l的斜率是62,0。14.【解析】（1）设点A、B的坐标分别为),(11yxA、),(22yxB，点Q的坐标为),(yxQ．当21xx时，设直线l的斜率为k，则l的方程为baxky)(由已知12,1222222121yxyx（1）baxkybaxky)(,)(2211（2）由（1）得0))((21))((21212121yyyyxxxx，（3）由（2）得bakxxkyy22)(2121，（4）由（3）、（4）及221xxx，221yyy，2121xxyyk，得点Q的坐标满足方程02222byaxyx．（5）当21xx时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）．显然点Q的坐标满足方程（5）．综上所述，点Q的坐标满足方程02222byaxyx．设方程（5）所表示的曲线为L，则由,12,0222222yxbyaxyx得024)2(2222baxxba．因为128222bab，由已知1222ba，所以当1222ba时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）．当1222ba时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点．因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内．故点Q的轨迹方程为02222byaxyx（2）由,0,02222xbyaxyx解得曲线L与y轴交于点（0，0），（0，b）．由,0,02222ybyaxyx解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）．当a=0且20b，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）．同理，当b=0且10a，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）．当10a且)1(202ab，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）．