2013届高考数学一轮复习讲义第四章-4.1-任意角和弧度制及任意角的三角函数

主页一轮复习讲义任意角和弧度制及任意角的三角函数主页1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为、、．②按终边位置不同分为和．(2)终边相同的角与角α相同终边的角的集合为{β|β＝α＋k·360°(k∈Z)}．(3)弧度制①1弧度的角：叫做1弧度的角．忆一忆知识要点正角负角零角象限角轴线角长度等于半径的圆弧所对的圆心角要点梳理主页②规定：正角的弧度数为，负角的弧度数为，零角的弧度数为，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r的大小，仅与有关．④弧度与角度的换算：360°＝弧度；180°＝弧度．⑤弧长公式：，扇形面积公式：S扇形＝＝.忆一忆知识要点正数负数零无关角的大小2ππl＝|α|rlr12lr12|α|r2要点梳理主页2．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为，以比值为的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．忆一忆知识要点yrxryx自变量函数值要点梳理主页3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝，sinα＝，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的、、.忆一忆知识要点OMMPAT余弦线正弦线正切线要点梳理主页三角函数线(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)有向线段为正弦线；有向线段为余弦线；有向线段为正切线忆一忆知识要点MPOMAT要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°α90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．主页2．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tanα＝yx有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为α|α≠kπ＋π2，k∈Z.主页3．三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负．(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．主页例1已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；(2)设集合M＝x|x＝k2×180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4×180°＋45°，k∈Z，那么两集合的关系是什么？求与已知角终边相同的角从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k，代入求出所求解．主页解(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－765360≤k≤－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.主页第(1)小题与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝k·360°＋α，k∈Z.第(2)小题也可对整数k的奇、偶数情况展开讨论．探究提高主页(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(3)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角．变式训练1解(1)由α是第三象限的角得π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)⇒－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；主页由π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ2α3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．(3)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ32π⇒－37≤k187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.主页例2已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα＋1tanα的值．三角函数的定义先根据任意角的三角函数的定义求x，再求sinα＋1tanα的值．解∵P(x，－2)(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝x2＋2.又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10.∴r＝23.主页当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sinα＝－223＝－66，1tanα＝10－2＝－5，∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；当x＝－10时，同理可求得sinα＋1tanα＝65－66.任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解．探究提高主页已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．变式训练2解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，当t0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；主页当t0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34或sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.主页例3(1)如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．(2)若θ是第二象限角，试判断sincosθcossin2θ的符号是什么？三角函数值的符号及判定(1)由点P所在的象限，可知sinθ、cosθ的符号，进而判断θ所在的象限．(2)由θ可判断cosθ，sin2θ的范围，把cosθ，sin2θ看作一个角，再判断sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号．主页解(1)因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθcosθ0,2cosθ0，即sinθ0cosθ0，所以θ为第二象限角．(2)∵2kπ＋π2θ2kπ＋π(k∈Z)，∴－1cosθ0,4kπ＋π2θ4kπ＋2π，－1≤sin2θ0，∴sin(cosθ)0，cos(sin2θ)0.∴sincosθcossin2θ0.∴sincosθcossin2θ的符号是负号．(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类题目的关键．(2)由三角函数符号判断角所在象限，在写角的集合时，注意终边相同的角．探究提高主页已知sin2θ0，且|cosθ|＝－cosθ，则点P(tanθ，cosθ)在第几象限？变式训练3解方法一由sin2θ0，得2kπ＋π2θ2kπ＋2π(k∈Z)，kπ＋π2θkπ＋π(k∈Z)．当k为奇数时，θ的终边在第四象限；当k为偶数时，θ的终边在第二象限．又因cosθ≤0，所以θ的终边在左半坐标平面(包括y轴)，所以θ的终边在第二象限．所以tanθ0，cosθ0，点P在第三象限．主页方法二由|cosθ|＝－cosθ知cosθ≤0，①又sin2θ0，即2sinθcosθ0②由①②可推出sinθ0cosθ0因此θ在第二象限，P(tanθ，cosθ)在第三象限．主页例4已知一扇形的圆心角为α(α0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？扇形的弧长、面积公式的应用(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数．主页解设弧长为l，弓形面积为S弓，则(1)α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝10π3(cm)，S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－12×102×sinπ3＝503π－5032＝50π3－32(cm2)．(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝C2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12α·C2＋α2＝C22α·14＋4α＋α2＝C22·14＋α＋4α≤C216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C216.主页(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．(3)记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S＝12αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0α2π)为圆心角，S是扇形面积．探究提高主页若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？变式训练4解设扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，根据已知条件12lR＝S扇，则扇形的周长为：l＋2R＝2S扇R＋2R≥4S扇，当且仅当2S扇R＝2R，即R＝S扇时等号成立，此时l＝2S扇，α＝lR＝2，因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值．主页(14分)(1)求函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sinθ2，cosθ2，tanθ2的大小．思想与方法数形结合具体体现三角函数线的应用审题视角(1)求定义域，就是求使3－4sin2x0的x的范围．用三角函数线求解．(2)比较大小，可以从以下几个角度观察：①θ是第二象限角，θ2是第几象限角？首先应予以确定．②sinθ2，cosθ2，tanθ2不能求出确定值，但可以画出三角函数线．③借助三角函数线比较大小．主页规范解答解(1)∵3－4sin2x0，∴sin2x34，∴－32sinx32.[2分]利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．[6分](2)∵θ是第二象限角，∴π2＋2kπθπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπθ2π2＋kπ，k∈Z，∴θ2是第一或第三象限的角．[8分]主页(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：①当θ2是第一象限角时，sinθ2＝AB，cosθ2＝OA，tanθ2＝CT，从而得，cosθ2sinθ2tanθ2；[10分]②当θ2是第三象限角时，si