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浩平教育第1页求通项公式专题一、利用na与nS关系求na1-1已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式na例1已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋n＋3.变式训练1已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求an.(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.1-2已知na与nS的关系式，求na例2已知数列}{na的前n项和323−=nnaS，求}{na的通项公式..变式训练2已知数列}{na的前n项和nS满足1=+nnaS，求}{na的通项公式..变式训练3已知数列{an}前n项和Sn满足Sn＝14(an＋1)2且an0，(1)求a1，a2；(2)求{an}通项公式．变式训练4已知正项数列}{na的前n项和nS满足12+=nnaS，求}{na的通项公式.浩平教育第2页加强训练（练习册31页例2）5：已知31=a且()−+=NnnSannn,221，求na及nS。二、已知递推公式求通项公式1公式法：型如()2,11==−−−nqaadaannnn2.累加法：型如)(1nfaann+=+的数列例3已知数列}{na满足21=a，231++=+naann，求}{na的通项公式.变式训练5(1)已知数列}{na满足11=a，)11ln(1naann++=+，求}{na的通项公式.(2)已知数列}{na满足21=a，12123−+=−nnnaa，求}{na的通项公式.3.累乘法：型如)(1nfaann=+的数列例4已知数列}{na满足11=a，nnanna21+=+，求}{na的通项公式.变式训练6已知数列}{na满足11=a，12nnnaa+=，求}{na的通项公式.变式训练7已知数列}{na满足11=a，)(1nnnaana−=+，求}{na的通项公式.浩平教育第3页4.对数法：4-1型如innaa=+1的数列（其中Ri且()01−ii，数列na是正项数列）例5已知数列}{na满足21=a，21nnaa=+，求}{na的通项公式.变式训练8已知数列}{na满足21=a，212nnnaaa+=+，求}{na的通项公式.4-2型如()1,1=+，pqppaaqnn为常数例6：已知数列na中，(),,3,22,111===−naaann试将na用n表达。5.构造法5-1型如bkaann+=+1(bk、为常数)的数列构造}{+na为等比数列▲例7已知数列}{na满足21=a，321+=+nnaa，求}{na的通项公式.变式训练9已知数列}{na满足11=a，231+=+nnaa，求}{na的通项公式.浩平教育第4页变式训练10已知数列}{na满足2171−=a，)2(5231+=−naann，求}{na的通项公式.5-2型如qparmaannn++=+1的数列5-2-1型如)0(1+=+mpmpamaannn的数列例8已知数列}{na满足11=a，121+=+nnnaaa，求}{na的通项公式.变式训练11已知数列}{na满足11=a，221+=+nnnaaa，求}{na的通项公式.5-2-2型如)0(1+=+mpqqpamaannn的数列解法：将原递推公式化为nnnnmaqaapa=+++11后两边同时除以nnaa1+得111+=+nnamaqp转化为“6-1型如bkaann+=+1(bk、为常数)的数列构造}{+na为等比数列”.例9：已知数列}{na满足11=a，21+=+nnnaaa，求}{na的通项公式.浩平教育第5页例10（拓展）.设由()(),3,2112,1111=+−==−−nanaaannn定义数列na，试将na用n来表示5-2-3形如：qparmaannn++=+1当特征方程qparmaannn++=+1有两个不同的根1x与2x时，则−−21xaxann是等比数列；当特征方程qpxrmxx++=有且仅有一根0x时，则−01xan是等差数列。例11设数列na由下式规定：(),3,2122,2111=++==−−naaaannn。（1）将11+−nnaa用n来表示；（2）求数列na的通项。变式训练12：已知数列na，(),3,2,131,011=−+==+naaaannn求数列na的通项。型如：mraqpaannn++=+21转化为：()mraxaxannn+−=−+21条件：pr2=得：2212111−−=−−++xaxaxaxannnn浩平教育第6页变式训练13设a为正数，且(),3,2121,121111=+=+=−−naaaaaannn，试求数列+−11nnaa的通项。5-3型如nnnqmpaa+=+1的数列解法：将原递推公式两边同除以1nq+得qmqaqpqannnn+=++11，设nnnabq=，得qmbqpbnn+=+1，转化为“6-1型如bkaann+=+1(bk、为常数)的数列构造}{+na为等比数列”.例12已知数列}{na满足11=a，123nnnaa+=+，求}{na的通项公式.变式训练14已知数列}{na满足21=a，nnnaa2211+=+，求}{na的通项公式.变式训练15已知数列}{na满足11=a，11232−+=−nnnaa，求}{na的通项公式.5-4型如001BnApaann++=+的数列解法：设1(1)()nnaAnBpaAnB++++=++，去括号整理对比001BnApaann++=+解出A、B的值，构造出}{BAnan++为等比数列．理解该数列的构造原理，若出现00201CnBnApaann+++=+，方法也相同.例13已知数列}{na满足11=a，1231nnaan+=+−，求}{na的通项公式.浩平教育第7页变式训练14已知数列}{na满足11=a，1321nnaan+=++，求}{na的通项公式.6.形如：(),3,211=+=−+nqapaannn设成()()11−+++=+nnnnxaaxpxaa，用待定系数法求出x设数列na成立着关系(),3,211=+=−+nqapaannn，其中qp,为常数。设,为二次方程02=−−qpxx的两根，则数列nnaa−+1是以为公比的等比数列。例14：设数列na定义如下：(),2,1023,2,11110==+−==−+naaaaannn，求na。例15：设有数列由(),3,2,11121=+===−+naaaaannn所定义。求它的通项公式。高考试题1．（2005年广东）设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用)(nf表示这n条直线交点的个数，则)4(f=；当n4时，)(nf=.（用n表示）2（2009。全国）设数列na的前n项和为nS，已知.24,111+==+nnaSa①设,21nnnaab−=+证明数列nb是等比数列；②求数列na的通项公式。①数列na的前n项和为nS浩平教育第8页3．2011年全国高考(广东卷)理科数学第20题设0b,数列na满足1,ab=1122nnnnbaaan−−=+−()2n.求数列na的通项公式;4．2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）第21题．（本小题满分12分）设pq，为实数，，是方程20xpxq−+=的两个实根，数列{}nx满足1xp=，22xpq=−，12nnnxpxqx−−=−（34n=，，…）．（1）证明：p+=，q=；（2）求数列{}nx的通项公式；（3）若1p=，14q=，求{}nx的前n项和nS．