相似三角形期末复习

相似三角形期末复习知识要点+练习提高------万州德澳中学初三数学备课组像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．dcba要判断线段是否是成比例线段关键在于：它们的比值是否相等！本章主要知识要点dcbadcba：：1.基本形式为：或b、C叫比例内项，a、d叫比例的外项，d叫做a、b、C的第四比例项*****比例的有序性*****即按大小大小，或小大小大排列2.比例中项：.____82.____82比例中项是的与线段的比例中项是与数cmcm4cm4当两个比例内项相等时，即abbc=，(或a：b=b：c)，那么线段b叫做a和c的比例中项.2acb即：如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACABACBC=那么称线段AB被点C黄金分割(goldensection),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.CAB√5–12≈0.618ACABACBC==ACABACBC=AC2=AB∙BC3.黄金分割：3.黄金分割：ACB.____,2ACABABC则的黄金分割点，线段是线段151．若m是5和4的比例中项，则m=,2．（2008河北）如图：等腰△ABC顶角∠A＝360，∠B的平分线BD交AC于D，则下列结论不成立的是（）A、BC＝ADB、点D是AC的黄金分割点。C、D、ABCDDABCCC2BCCDBCAB52D判定方法相似形相似多边形相似三角形应用性质知识点1定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。∽ABCA’B’C’,如果BC=3,B’C’=1.5,那么A’B’C’与ABC的相似比为_________.21二相似三角形相似三角形的常见判定方法有：（1）、利用两组对应角相等证明相似（2）、利用两边夹一角证明相似（3）、利用三边对应成比例证明相似（1）对应角相等,对应边成比例（2）相似三角形对应高、中线的比等于相似比（3）相似三角形周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方知识点2知识点3预备定理三角形相似的判定方法有哪几种?预备定理ABCDEDEABC∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC知识点2相似三角形判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似A=DB=E△ABC∽△DEFABCDEF知识点2相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.ABDE=ACDFA=D△ABC∽△DEFABCDEF知识点2相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似.ABCDEFABDE=ACDF=BCEF△ABC∽△DEF知识点2ADEBABABCD△ADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合∠ACB=Rt∠CD⊥AB**相似三角形基本图形的回顾：1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比等于相似比3、相似三角形的面积比等于相似比的平方知识点31,相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。练习:∽ABCA’B’C’,如果BC=4,B’C’=14,那么A’B’C’与ABC的相似比为_________.27APBC1、若△ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=_______，△ACP与△ABC的相似比是_______，周长之比是_______，面积之比是_______。62:32:3练一练4:92、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时△ABC和△BDC相似？DABC53知识点一：测量不能直接到达顶部的物体的高度，通常使用在“同一时刻物体的物体的高度和影长成正比”来解决。例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB。知识点二：测量不能直接到达的两点之间的距离，常构造相似三角形求解。例2．我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一岸上选点B和C，使AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用眼睛测视确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，就能算出两岸间距离AB。•知识点三：证明比例式或等积式例3：如图已知D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠C．求证：AD·AB＝AE·AC．证明:∵∠ADE=∠C,∠A=∠A∴△AED∽△ABC(两角对应相等,两三角形相似)∴=ADAEACAB∴AD·AB＝AE·AC作业:如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC=BC.求证:AD·EF＝AE·EC14证明:∵四边形ABCD是正方形∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90°∵E是BC中点，FC=BC14∴12DEAD12CFCEDECFADCE∴∴△ADE∽△ECF（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）ABCDEF∴=ADAEECEF∴AD·EF＝AE·EC例题：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.(1)ΔABE与ΔADF相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长.(3)若AE=x,BE=y,AF=6，AD=12,y与x之间有怎样的函数关系？例题教学:如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1）21证明：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°又∵∠ADE=45°∴∠ADE=∠B∴∠1=∠2∴△ABD∽△DCE（两角相等，两三角形相似）ABCDE拓展提高（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值解：∵△ABD∽△DCE1xy1y2x∴ABBDCDCE112xyx即∴12yxx∴221yxx2212202yxx当22x时12y最小值ABCDE如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°拓展提高BCAQP8162cm/秒4cm/秒例4、在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？拓展提高9、如图，在△ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4厘米/秒的速度移动，若P,Q分别从A,B同时出发，则经多少秒时△PBQ可与△ABC相似？BPCAQ例5、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36.求△ABC的面积.ABCDEF2536解：∵DE∥BC，EF∥AB∴∠A=∠CEF，∠AED=∠C∴△ADE∽△EFC∴56AECE∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵S△ADE=25∴S△ABC=121∴SADESEFC=AE2AC2=25121∴SADESEFC=2536=AE2EC2∴115ACAE拓展：如图，点D是Rt△ABC的斜边AB上的点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=15,BE=10,求四边形DECF的面积。ACBDEF练习：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且D为AC的中点，DE∥BC交AB于点E，若BC=4，求EB长ADECB