中学代数研究--第2章-式、代数式与不等式

12按照一定的数学法则，把数学符号连接起来的符号串，我们称之为数学式。学生学会运用符号语言表示数学思想，这是数学教育的一项重要目标，也是学生必须掌握的一项数学基本能力。3一．数学符号简史二．数学符号语言——代数式三．字母表示数四．解析式五．绝对不等式的证明六．条件不等式的求解七．高中课程《不等式选讲》解析八．不等式的有关问题4一、数学符号简史欧几里得《几何原本》就不使用数学符号。中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，包括使用0，也大量求解方程，但是因为计算过程依赖于算筹，所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号，0只是一个空格。最早使用“+”“-”表示加减的是15世纪的德国数学家。现存于德累斯顿图书馆的数学手稿（1486年）中，首见此符号。51631年，英国数学家奥特雷德在《数学之钥》一书中使用“×”表示乘法，而1698年莱布尼茨在一封信中使用“.”表示乘法，这样可以避免“×”和字母x混淆。除法的记号“÷”在1659年由瑞士人雷恩引入。等号是英国数学家雷科德于1557年在《励智石》一书首先使用。19世纪末20世纪初国际交往的扩大，终于有了比较统一的国际通用的数学符号。6中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符号使用上拒绝和国家接轨。中国现行教材当中有关数学符号史的介绍78910二、数学符号语言——代数式自学，谈体会11三、字母表示数有些知识，虽然教师需要透彻理解，而学生只需要理解其大意，会用即可。字母表示数可以分为四个层次：①用文字泛指某个数集中的一个数②专指特定的数③作为变量④作为不定元参与运算12四、解析式解析式——用运算符号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的数学式。代数式：只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。超越式：解析式中如果除了代数运算之外，还有超越运算，称之为超越式。13三角式、反三角式指数式、对数式超越式—根式—无理式分式整式有理式代数式解析式（1）解析式的分类是就它们的形式来说的。如tanx·cotx虽然恒等于1，但我们仍把它看作三角式或初等超越式。（2）解析式的分类是针对所考察的字母涉及的运算而言的。式子是关于字母x的整式,也是关于字母y的整式，同时还是关于字母x,y的整式,但它是关于字母z的分式。两点说明：14两个解析式用等号连接起来的式子称为等式：等式可以分为两类：恒等式和条件等式。两个解析式用不等号连接起来的式子称为不等式：不等式可以分为两类：绝对不等式和条件不等式。),,,(),,,,(zyxBzyxA),,,(),,,(zyxBzyxA),,,(),,,,(zyxBzyxA),,,(),,,(zyxBzyxA15五、绝对不等式的证明常识性理解的论证用比较法证明不等式用分析法和综合法证明不等式用放缩法证明不等式构造函数证明不等式构造几何图形证明不等式反证法在不等式证明中的应用16六、条件不等式的求解1.由复杂向简单不等式的转化2.分类讨论3.用几何方法求解不等式4.不等式的同解变形5.含参数不等式的处理6.不等式在解决“最值”问题上的应用17七、高中课程《不等式选讲》解析1.《不等式选讲》内容简介2.不等式的基本性质3.几个重要不等式4.一个例子181.《不等式选讲》内容简介《普通高中数学课程标准》中的“不等式选讲”人教A版中的“不等式选讲”1920212.不等式的基本性质223.几个重要不等式①算术—几何平均不等式②柯西不等式③排序不等式④贝努利不等式⑤琴生不等式23①算术——几何均值不等式24例：求函数的最小值。某位学生解决上述问题时用如下方法：解：因为所以函数的最小值是24。请你判断上述解法是否正确，若有错误，请给出正确解法。)0(64832xxxxy24648364833232xxxxxxy25②柯西不等式简单形式的柯西不等式26272829一般形式的柯西不等式3031③排序不等式逆序和乱序和）。（顺序和乱序和），（的任意两个排列，则，，，是，，，与，，，，，设21211111212121211111babababababababanjjjiiibbbaaannjijinnjijinnnnnnnn32二维形式：33一般形式的证明：）。（需证的任意一个排列，则只，，，是，，，换加数，总可以使得）。由于经过有限次交证：先证明（3211221121212121212211nnknkknknkkjijijibabababababankkkbabababababannnn）成立。故（，则，，，换成，，，把例如）左边的值不会减小。换，（，而每作一次这样的对，，，小序号对换）把它变为前面的大序号与后面的换，总可以经过有限次对，，，事实上，对任给的排列30))(()()(,321(2112211221212121212112212121kkkkkkknkkknkknnnbbaababababababababababakkkkkkkknkkknn34）成立。，即知（把上式两边除以）。（）（）（）（）（）（；，）。）证明（再由（2121112121212211bababababababbbaaannnjijijinnnn35④贝努利不等式011102;111011xxxxxx件为其中等号成立的充要条，时，或）当时，）当，则设一般形式：36特殊形式：37⑤琴生（Jonson）不等式时成立。其中等号均当且仅当下凸，则不等号反向，在区间若，必有，，以及任意内上凸，则对任意在区间若一nnnnnnnnxxxxfxfxfxxfRIxxxxf211111212121I)();()(1,,,,,,I)(时成立。当且仅当号反向，其中等号均内的下凸函数，则不等为区间若，总有意内的上凸函数，则对任为区间若二nnnnxxxxfnxfxfxfnxxxfIxxxxf21212121I)(;)()()(,,,I)(38四.一个例子设是e自然对数的底，π是圆周率，求证eππe要求：至少选用两种不同方法进行论证。39八、不等式有关问题选讲第一部分：问题2.1——问题2.19第二部分：问题2.20——问题2.2540研究性学习①分组：要求尽量以寝室为单位，每8人一组。全班13个组。②形式：针对每组对应内容，每位组员完成一个学习报告，充分讨论并推荐2-3名代表在班上交流。③内容：包含教材基本内容介绍、拓展（通过查资料、求教和独立思考等）和学习体会三方面。④评价：组员在交流中的表现记入平时成绩（由组内评价和教师评价相结合）。组内评价满分5分，根据每个组员在报告中参与程度，组长和其他组员讨论给出其得分，并交给老师；教师评价满分5分，根据报告情况给出成员的均分，并给报告人一定奖励分。41⑥评价维度：教学内容（科学性、深度和广度等，占60%)、讲解技能（占30%）和新意（占10%）。⑦参考文献源：教材，专著和纸质期刊（《数学通报》、《中学数学教学参考》等），期刊数据库等。⑧本章研究性学习安排：第一组报告第五节，第二组报告第六节；第三组报告第八节第一部分；第四组报告第八节第二部分。⑨每组原则上报告一个研究课题，时间35—45分钟。其余组的课题在后面的课程内容中选取。42作业课本P593、5求y=(80-2x)(50-2x)x的最大值，其中0x25。