统计与统计案例

第九章统计与统计案例第一节随机抽样考纲要求：1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法．[基础真题体验]考查角度[抽样方法]1．(2013·课标全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【解析】由于三个学段学生的视力情况差别较大，故需按学段分层抽样．【答案】C2．(2014·四川高考)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本【解析】调查的目的是“了解某地5000名居民某天的阅读时间”，所以“5000名居民的阅读时间的全体”是调查的总体．【答案】A3．(2014·天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．【解析】根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60.【答案】60[命题规律预测]命题规律从近几年的高考试题看，对本节内容的考查主要体现在以下两点：1.主要考查随机抽样的方法及其计算．2.题型以选择题和填空题为主，属于中低档题．考向预测预测2016年高考将以分层抽样为切入点，结合实际生活背景，考查分层抽样的概念及相关计算.考向一简单随机抽样[典例剖析]【例1】(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B．07C．02D．01【思路点拨】读数→比较与20的大小→选数→成样【解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.【答案】D抽签法与随机数表法的适用情况：(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况．(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．[对点练习]下列抽样方法是简单随机抽样的是()A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C．从实数集中逐个抽取10个正整数分析奇偶性D．运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道【解析】简单随机抽样是不放回、逐个、等可能的抽样，故D正确．【答案】D考向二系统抽样及其应用[典例剖析]【例2】(1)(2013·陕西高考)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11B．12C．13D．14(2)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7B．9C．10D．15【思路点拨】(1)结合系统抽样的方法及不等式解法求解．(2)结合系统抽样及等差数列知识求解．【解析】(1)抽样间隔为84042＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x0(x0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*.∴24120≤k＋x020≤36.∵x020∈120，1，∴k＝24,25,26，…，35，∴k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.(2)由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．【答案】(1)B(2)C系统抽样的特点：(1)适用于元素个数很多且均衡的总体．(2)各个个体被抽到的机会均等．(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样．(4)如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝Nn.提醒：如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．[对点练习]高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为()A．30B．25C．20D．15【解析】由题意可知，可将学号依次为1,2,3，…，56的56名同学分成4组，每组14人，抽取的样本中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差14，故还有一个同学的学号应为14＋6＝20.【答案】C考向三分层抽样及其应用[典例剖析]【例3】(2013·湖南高考)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝()A．9B．10C．12D．13(2)(2014·湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．【思路点拨】利用“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本容量各层个体数量”求解(1)(2)．【解析】(1)依题意得360＝n120＋80＋60，故n＝13.(2)设乙设备生产的产品总数为x件，则甲设备生产的产品总数为(4800－x)件．由分层抽样特点，结合题意可得5080＝4800－x4800，解得x＝1800.【答案】(1)D(2)1800与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略：(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．[对点练习]某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为()一年级二年级三年级女生373xy男生377370zA.24B．18C．16D．12【解析】根据题意可知二年级女生的人数应为2000×0.19＝380(人)，故一年级共有人数750人，二年级共有750人，这两个年级均应抽取64×7502000＝24(人)，则应在三年级抽取的学生人数为64－24×2＝16(人)．【答案】C误区分析17忽视“抽样比”相等导致分层抽样失误[典例剖析]【典例】(2015·洛阳模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A．101B．808C．1212D．2012【解析】四个社区共抽取了12＋21＋25＋43＝101人．又由题意可知抽样比为1296，故1296＝101N，此处在求解时，因不理解“样本容量总体容量＝抽样比”致误解得N＝808.【答案】B【防范措施】1.对于分层抽样问题，其解决的关键是抓住“样本容量总体容量＝抽样比”建立等量关系．2．等可能性入样是所有简单随机抽样的大前提．[对点练习]某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则二车间生产的产品数为()A．800B．1000C．1200D．1500【解析】设该厂的一、二、三车间生产的产品数分别为x，y，z，由题意可知x∶y∶z＝a∶b∶c，又a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即2y＝x＋z.又x＋y＋z＝3600，∴3y＝3600，y＝1200.【答案】C课堂达标训练1．(2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．【答案】D2．从30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为()9264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814288966286757823115890062004738155131818637094521666553255383270290557196217232071114138443594488A．76,63,17,00B．16,00,02,30C．17,00,02,25D．17,00,02,07【解析】在随机数表中，将处于00～29的号码选出，第一个数76不合要求，第2个63不合要求，满足要求的前4个号码为17,00,02,07.【答案】D3．从2014名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样法从2014名学生中剔除14名学生，再用系统抽样法从剩下的2000名学生中选取50名学生．则每人入选的概率()A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为251007D．都相等，且为140【解析】抽样过程中每个个体被抽取的机会均等，概率相等，故每人入选的概率为502014＝251007.故选C.【答案】C4．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．【解析】由分层抽样的特征可知，应从高二年级抽取3×5010＝15.【答案】15课时提升练(五十二)随机抽样一、选择题1．(2014·广东高考)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A．50B．40C．25D．20【解析】根据系统抽样的特点可知分段间隔为100040＝25，故选C.【答案】C2．(2014·重庆高考)某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100B．150C．200D．250【解析】法一：由题意可得70n－70＝35001500，解得n＝100，故选A.法二：由题意，抽样比为703500＝150，总体容量为3500＋1500＝5000，故