极限的概念课件

目录学习要求1.理解极限的概念；熟练掌握基本初等函数在自变量的某个过程中的极限。2.掌握函数在一点极限存在的充要条件，会求分段函数在分段点的极限。§1.2极限目录割圆求周长思路：利用圆的内接正多边形近似替代圆的周长随着正多边形边数的增多，近似程度会越好。问题：若正多边形边数n无限增大，两者之间的关系如何？我国古代数学家刘徽用割圆术,初步解决了这个问题。1、求圆的周长问题一、极限概念的引入目录割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽目录割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽目录割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽目录“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽目录“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽目录“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽目录“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽目录“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽目录“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽目录“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽目录通过上面演示观察得:若正多边形边数n无限增大，则正多边形周长无限接近于圆的周长。目录nan1;,1,,41,31,21,1n1、数列极限定义的引入例解：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,1,31,21,1321naaaan21413101.01,无限接近于无限增大时当nann对于“无限接近”这种变化趋势，我们给出下面的数学定义：通过上面演示观察得:二、数列极限目录定义1.6如果n无限增大时,数列}{na的通项na的值无限接近一个确定的常数A,则称A是数列}{na当n趋向于无穷大时的极限,或者称数列nx收敛于A,记为)(:,limnAaAannn或注意：如果数列没有极限,就说数列是发散的.2.数列极限的定义并写出收敛数列的极限观察变化趋势,;,21,161,81,41,21).1(n例,,3,2,1)3(n;21)1(,,0,1,0,1)2(!n目录nna21nn21,解：;,21,161,81,41,21).1(n.,1,,81,41,21321naaaan214181010确定常数021limnn极限存在目录;,0,1,0,1)2(;,,,4,3,2,1)3nnannn,（非确定常数）极限不存在（发散）nyn,极限不存在（发散）,,10不能趋于一个确定的数之间摆动与该数列在数A定的常数不能无限地接近一个确目录的极限时三)(,.xfx由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.1:}{nxxnn从数列)),0((1xxy与函数的图形可以看出:.01lim,01limxnxnOxy123nnxn1xy1如何描述它？目录.)()()b,)x(f1时的极限当为函数称，则常数某个确定的常数无限趋近于增大时，函数取负值且绝对值无限有定义，当在区间（设函数定义xxfAAxfxAxfxAxfx)(,)(lim或记作的极限的定义时)(.1xfx2定义),a（x正),（3定义\xAxfxAxfx)(,)(lim或记作AxfxAxfx)(,)(lim或记作目录xyarctan,2arctanlim:πxx由图形可知.2arctanlim:πxx同理可知2πy2πy.时的极限、数当根据图形写出反正切函xx发现问题没有?当x+时,函数趋于/2;当x-时,函数趋于-/2;那?x例目录THANKYOUSUCCESS2020/4/2321可编辑目录.)(lim)(lim)(lim:1.1AxfxfAxfxxx的充分必要条件是定理思考题：)11(limxx的极限存在吗？1)11(limxxxyo1xxf11)(..2、当x时,函数f(x)极限存在的充要条件1)11(limxx.1)11(limxx目录xxe)1(limxxe)1(limxxe)1(limxxelimxxelimxxelim1、不存在0不存在0不存在（2）（1）不存在例：观察下列函数在x趋于无穷时极限是否存在.目录xycosxxcoslimxxcoslimxxcoslim2、不存在,]1,1[cos,之间摆动在函数时当xx.coslim,不存在不能趋于一个确定的数xx目录小结1.研究变量(数列或函数)的变化趋势2.数列极限:当n时,anA.否则无极限。3.函数极限(1)当x时,f(x)A(2)当x+时,f(x)A(3)当x-时,f(x)AAxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim)4(目录的极限时四)(,.0xfxxxx0时函数的极限,是描述当x无限接近x0时,函数f(x)的变化趋势.目录定义1.13如果当0xx0xx不要求时,函数xf的值无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数xf当0xx时的极限,记作：0)(lim0xxAxfAxfxx或注意：.)(.2)(.10随自变量的变化趋势极限讨论的是函数值是否有定义无关在点函数的极限与xfxxf2、xx0时函数的极限目录.111)(,1)(:.1221时的变化趋势当观察函数引例xxxxfxxf解：由图形可以看到.xyo12)(xf)(xfy..21)(,11xxfx时当f1(x)在点x=1处有定义.函数f2(x)在点x=1处没有定义.11)(,122xxxfx时当.2)1(1xx目录无限只考虑有无定义在必考虑,)(0xxxxf的变化函数时接近)(,0xfx趋势即可。我们不这类极限过程时在讨论,0xx目录2例：观察并求出下列极限)1(lim)1(20xx1o1-1xxsinlim)3(0xxcoslim)5(0xxsinlim)4(2xxcoslim)6()1(lim)2(21xx=1=0=0=1=1=-1目录0xD总结：若函数f(x)是定义域为D的初等函数，且有限点，则极限)()(lim00xfxfxxxCxxxx00limlim0x如：C目录3、单侧极限(左极限和右极限)0,10,1)(2xxxxxf设两种情况分别讨论和分00xx,)1(0xx从左侧无限趋近;0xx记作,)2(0xx从右侧无限趋近.0xx记作yox1xy112xy解观察可知:1)1(lim)(lim200xxfxxx1)1(lim)(lim00xxfxxx例左极限右极限).(0lim),(0limxfxfxx求?)(lim0xfx1目录.)(lim)(lim)(lim000AxfxfAxfxxxxxx定理4.函数在一点极限存在的充分必要条件左、右极限相等极限存在目录yx11oxxx0lim:左极限左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx证1)1(lim0xxxx0lim:右极限11lim0x.0101xxxxxxxx.lim0不存在验证xxx例目录).(lim,00063)(0xfxxxxfx讨论设例6)63(lim)(lim00xxfxx解？如何求分段点左右两边表达式相同不需分左右极限目录5、讨论分段函数在分段点的极限的步骤:；选择正确的表达式求)(lim).10xfxx；选择正确的表达式求)(lim).20xfxx.).3根据定理得出结论注意：有时不需分左右极限求解目录).(lim),(lim0,1000,1)(10xfxfxxxxxxfxx讨论设x-111-1oy11)xlim)(lim)1(00（xxxf1)1(lim)(lim00xxfxx)(lim)(lim00xfxfxx练习.)(lim0不存在xfx0)1(lim)(lim)2(11xxfxx解目录).(lim)(lim),(lim023013)(000xfxfxfxxxxfxxxx及求已知213lim)(lim00）（xxxxf,223lim)(lim00）（xxfxx.2)(lim0xfx解练习目录五、极限的性质.0,020,01,lim3AyAyAy则极限值）如果变量（；则极限值）如果变量（那么：、保号性：已知极限2、局部有界性1、唯一性了解即可！目录六、小结..1变化趋势的问题自变量变化下函数值的理解极限是研究函数在2.理解极限的七种变化过程的极限的定义00000xxxxxxxxxxxxxxxnAxf)(lim目录3.用定理1.1讨论分段函数在分段点的极限4.结合图形熟记基本初等函数在各点的极限.；选择正确的表达式求)(lim.10xfxx；选择正确的表达式求)(lim.20xfxx.1.1.3得出结论根据定理目录THANKYOUSUCCESS2020/4/2342可编辑