博弈与社会第二次作业参考答案

第二次作业参考答案1、（1）为简明起见，我们假设当每位大臣达成自己昀理想的结果时支付为3，其次支付为2，达成昀不理想的结果时支付为1。这个博弈共有两个子博弈：整个博弈本身和第二阶段的子博弈。假设博弈能进入第二阶段，先考虑这个子博弈中的Nash均衡。在这个阶段，每位大人都有两种选择：“流放三千里（B）”和“斩立决（C）”。左都御史：B大理寺卿BC刑部尚书B2，3，22，3，2C2，3，21，1，3左都御史：C大理寺卿BC刑部尚书B2，3，21，1，3C1，1，31，1，3根据“杠杠法”，这个子博弈中有三个均衡（B，B，B），（B，B，C）和（C，C，C）。这告诉我们在所有可能的子博弈精炼Nash均衡中，第二阶段三人的策略组合必定是采取以上形式的。再考虑整个博弈中的Nash均衡。在整个博弈中，每位大人需要考虑在第一阶段选择“有罪”或“无罪”，在第二阶段里选择B或C。左都御史：（无罪，B）大理寺卿（无罪，B）（无罪，C）（有罪，B）（有罪，C）刑部尚书（无罪，B）3，2，13，2，13，2，13，2，1（无罪，C）3，2，13，2，13，2，13，2，1（有罪，B）3，2，13，2，12，3，22，3，2（有罪，C）3，2，13，2，12，3，21，1，3左都御史：（无罪，C）大理寺卿（无罪，B）（无罪，C）（有罪，B）（有罪，C）刑部尚书（无罪，B）3，2，13，2，13，2，13，2，1（无罪，C）3，2，13，2，13，2，13，2，1（有罪，B）3，2，13，2，12，3，21，1，3（有罪，C）3，2，13，2，11，1，31，1，3左都御史：（有罪，B）大理寺卿（无罪，B）（无罪，C）（有罪，B）（有罪，C）刑部尚书（无罪，B）3，2，13，2，12，3，22，3，2（无罪，C）3，2，13，2，12，3，21，1，3（有罪，B）2，3，22，3，22，3，22，3，2（有罪，C）2，3，21，1，32，3，21，1，3左都御史：（有罪，C）大理寺卿（无罪，B）（无罪，C）（有罪，B）（有罪，C）刑部尚书（无罪，B）3，2，13，2，12，3，21，1，3（无罪，C）3，2，13，2，11，1，31，1，3（有罪，B）2，3，21，1，32，3，21，1，3（有罪，C）1，1，31，1，31，1，31，1，3容易知道在整个博弈中，有15个Nash均衡（用粗体标出）。结合第二阶段应有的选择，可知博弈共有9个精炼Nash均衡，用灰色标出。这些结果中，哪一个更有可能出现呢？注意到，其实对于尚书大人来说，（无罪，B）是一个弱占优战略，而对于左督御史来说（有罪，C）是一个弱占优战略。如果剔除了所有弱被占优战略，那么唯一剩下的Nash均衡就是（（无罪，B），（有罪，B），（有罪，C））。相对于其他的战略，这个战略显然更靠谱，更容易出现。此时，一枝花将有罪，并被流放三千里。（2）如果刑部尚书可以承诺在第二期必然选择C，则他有可能通过子博弈精炼均衡（（无罪，C），（无罪，C），（有罪，C））为一枝花脱罪。如前所述，（有罪，C）是左督御史的占优战略。给定他采用这一战略，如果刑部尚书威胁说：“我认为一枝花无罪，如果他被判有罪，那么我宁愿将其斩首！”这时大理寺卿会作何感想呢？如果他确认尚书真能遵守承诺，那么（无罪，C）就能成为其昀优反应战略。此时，均衡（（无罪，C），（无罪，C），（有罪，C））将会实现，此时一枝花将会被无罪释放。但是如果博弈真进行到第二阶段，那么尚书将会更偏好将“一枝花”流放而非处斩。因此他的上述威胁是不可置信的。如果其他两位大人预料到了这点，那么上述的结果就不可能出现了。（3）如果博弈顺序改为先决定是否问斩，然后决定是否有罪。如果有罪，他将被流放。则仍然可以先考虑第二阶段。这一阶段，三位大人可以选择“无罪（A）”或“流放（B）”。左都御史：A大理寺卿AB刑部尚书A3，2，13，2，1B3，2，12，3，2左都御史：B大理寺卿AB刑部尚书A3，2，12，3，2B2，3，22，3，2根据“杠杠法”，这个子博弈中有三个均衡（A，A，A），（A，B，B）和（B，B，B）。这告诉我们在所有可能的子博弈精炼Nash均衡中，第二阶段三人的策略组合必定是采取以上形式的。左都御史：（斩，A）大理寺卿（斩，A）（斩，B）（不斩，A）（不斩，B）刑部尚书（斩，A）1，1，31，1，31，1，31，1，3（斩，B）1，1，31，1，31，1，31，1，3（不斩，A）1，1，31，1，33，2，13，2，1（不斩，B）1，1，31，1，33，2，12，3，2左都御史：（斩，B）大理寺卿（斩，A）（斩，B）（不斩，A）（不斩，B）刑部尚书（斩，A）1，1，31，1，31，1，31，1，3（斩，B）1，1，31，1，31，1，31，1，3（不斩，A）1，1，31，1，33，2，12，3，2（不斩，B）1，1，31，1，32，3，22，3，2左都御史：（不斩，A）大理寺卿（斩，A）（斩，B）（不斩，A）（不斩，B）刑部尚书（斩，A）1，1，31，1，33，2，13，2，1（斩，B）1，1，31，1，33，2，12，3，2（不斩，A）3，2，13，2，13，2，13，2，1（不斩，B）3，2，12，3，23，2，12，3，2左都御史：（不斩，B）大理寺卿（斩，A）（斩，B）（不斩，A）（不斩，B）刑部尚书（斩，A）1，1，31，1，33，2，12，3，2（斩，B）1，1，31，1，32，3，22，3，2（不斩，A）3，2，12，3，23，2，12，3，2（不斩，B）2，3，22，3，22，3，22，3，2容易知道在整个博弈中，有15个Nash均衡（用粗体标出）。结合第二阶段应有的选择，可知博弈共有9个精炼Nash均衡，用灰色标出。那么哪些均衡更容易出现，一枝花又该当何罪呢？先看左都御史有弱占优战略：（斩，B）。给定左督御史选择这一战略，（不斩，B）对大理寺卿是弱占优战略。重复提除弱被占优战略后，留下两个可能的均衡：（（不斩，A），（不斩，B），（斩，B））和（（不斩，B），（不斩，B），（斩，B））。此时，一枝花会被流放三千里。2、或许本题的主人公称呼应该改为东嫂和东哥更为合适了。（1）在Stackelberg模型中，我们先考虑“后动者”的行为，在给定“先动者”行为的情形下，得到“后动者”的昀优行为。然后将其反代回“先动者”的决策，求解其行为。具体到本题：在给定奶茶MM的产量选择1Q时，考虑奶茶GG的昀优反应：})]({[max}){(max221222QQQbcaQcPQQ求解F.O.C，可得奶茶GG的昀优反应曲线：bbQcaQ212)(，将其代回奶茶MM的目标函数。这时，奶茶MM的决策问题是：111)]2([max1QbbQcaQbaQ求解F.O.C，可得奶茶MM的昀优产量为：bcaQgStackelber21进而可以求得：bcaQgStackelber42，总产量为：bcaQgStackelber43)(。市场价格为43cabQaPgStackelbergStackelber。在Stackelberg均衡下，奶茶MM的利润为bcaStakelberg821)(；而奶茶GG的利润则为bcaStakelberg1622)(。（2）在奶茶之战第一季中，我们已经求得，在Cournot均衡下，奶茶MM和奶茶GG都将生产bcaQQCournotCournot221，而两人的利润则为bcaCournotCournot9221)(。很显然，在Stackelberg竞争下，先动者奶茶MM无论在产量上还是利润上都高于Cournot均衡，而后动者奶茶MM则在产量和利润上都不如Cournot均衡。这证明了奶茶MM存在“先发优势”。（3）先考虑后动者行为。当观测到奶茶MM的产量1Q后，其余任一参与人i，i=2、3……N-1的决策目标为：})]({[maxiiijjQQQQbcai昀优反应分别为：bQbcaQijji2)(由对称性，NQQQ...32。代入上式，可得：NbbQcaQQQN132...（注意，由于奶茶MM的先动，这里1Q已经给定了）代回奶茶MM的决策问题：11112QNbbQcaNQbaQ)]))((([max求解F.O.C，可得奶茶MM的昀优产量为：bcaQ21。因此，NbcaQQQN232...此时，市场上的总产量NbcaNQ212))((，市场价格为NcNaP212)(。因此奶茶MM的利润为Nbca421)(，其余人的利润bNcaN22324)(...。在Cournot均衡下，容易求得：bNcaQQQQN)(...1321，由此，所有人的利润都为：bNcaN223211)()(...。容易知道，N1时，有NN412)(，因此bNcaNbca22214)()()(。这说明奶茶MM依然有先发优势。但是由于22222214114)()()()()()(NNcaNbNcaNbcaAdvantage，容易求得当N3时：014131422wNNNNNNAdvantage))(())()((即先发优势逐渐减小。极端地，当N时，0Advantage。（4）在其它人观察到奶茶MM和奶茶GG的决策后，参与人i，i=3……N-1的决策目标为：})]({[maxiiijjQQQQbcai昀优反应分别为：bQbcaQijji2)(由对称性，NQQQ...43。代入上式，可得：bNQQbcaQQQN)()(...12143代回先动者问题，可知奶茶MM的决策问题为：12121122QbNQQbcaNQQbcaQ)])()]()[(([max求解F.O.C，可得：bbQcaQ221。由对称性，可知：bcaQQ321从而bNcaQQQN)(...1343，因此市场上的总产量为：bNcaNQ)())((1343，市场价格为：)()_(1343NcNaP。容易算得，作为先动者的奶茶MM和奶茶GG的利润都为：bNca)()(19221，而其它后动者的利润都为bNcaN224319)()(...。（5）当有M个人先动时，采用完全和（4）中类似的步骤，可以算得：bMNMcaQQQNMM))((...1121反代回先动者的决策问题，可以算得：bMcaQQQM)(...121从而市场总产量为bMNMcaMNMNQ))(())((112，市场价格为：))(()(112MNMcMNMNaP。从而容易算得，所有M位先动者的利润都为：bMNMcaM)()()(...112221而N-M位后动者的利润都为：bMNMcaNMM2222111)()()(...（6）当奶茶MM和奶茶GG结成卡特尔后，他们共同选择垄断总产量mQ，以昀大化联合利润：}]{[maxmmQQbQcam用F.O.C可得：bcaQm2。故两人的产量都为bcaQQCartelCartel421，市场的价格为2caPCartel。此时他们两人的利润都为：bcaCartelCartel8221)(。（7）尽管“砖家”通常都不靠普，但这次的论断却是言之有理的。假设奶茶GG信守承诺，选择产量bca4。则对于奶茶MM来说，其昀优的产量1Q求解如下问题：})]({[max1141QbcaQbcaQ由F.O.C可得，昀优的bcaQ831)(，大于协商产量bca4。此时，市场上的总产量为bcaQ85)(，市场价格为853caP。此时奶茶MM的利润为：bca64921)(，大于遵守卡特尔协议时的利润bca