余弦函数图像和性质练习含答案

课时作业10余弦函数、正切函数的图象与性质(一)时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．函数f(x)＝cos(2x－π6)的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π解析：本题考查三角函数的周期．T＝2π2＝π.余弦型三角函数的周期计算公式为2πω(ω0)．答案：B2．设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9解析：将f(x)向右平移π3个单位长度得g(x)＝f(x－π3)＝cos[ω(x－π3)]＝cos(ωx－π3ω)，则－π3ω＝2kπ，∴ω＝－6k，又ω0，∴k0，当k＝－1时，ω有最小值6，故选C.答案：C3．设f(x)是定义域为R，最小正周期为3π2的函数，若f(x)＝cosx－π2≤x≤0，sinx0x≤π，则f－15π4的值等于()A．1B.22C．0D．－22解析：f－154π＝f3π2×－3＋3π4＝f3π4＝sin3π4＝22.答案：B4．将函数y＝cosx的图象向左平移φ(0≤φ2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－π6)的图象，则φ等于()A.π6B.2π3C.4π3D.11π6解析：∵y＝sin(x－π6)＝cos[π2－(x－π6)]＝cos(x－2π3)．将y＝cosx的图象向右平移2π3个单位可得到y＝cos(x－2π3)的图象，∴要得到y＝sin(x－π6)的图象应将y＝cosx的图象左移φ＝2π－2π3＝4π3个单位．答案：C5．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集为()A.－3，－π2∪(0,1)∪π2，3B.－π2，－1∪(0,1)∪π2，3C.－3，－π2∪(0,1)∪(1,3)D．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)解析：f(x)0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f(x)0的解集为(－3，－1)∪(0,1)，当x∈(－π，π)时，cosx0的解集为－π2，π2，cosx0的解集为－π，－π2∪π2，π，故f(x)cosx0的解集为－π2，－1∪(0,1)∪π2，3.答案：B6．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：由题意可得f4π3＝0，即3cos8π3＋φ＝0∴8π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)∴φ＝kπ＋π2－8π3(k∈Z)∴|φ|的最小值为|φ|＝|2π＋π2－8π3|＝π6.答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．若f(x)＝cosx在[－b，－a]上是增函数，那么f(x)在[a，b]上是________函数．解析：∵f(x)＝cosx是偶函数，且偶函数在对称区间的单调性相反，∴f(x)在[a，b]上是减函数．答案：减8．函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(cosx)的定义域为____________．解析：由题意知0≤cosx≤1，∴2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z.答案：[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)9．已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φπ)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：本题考查三角函数的图象及求值问题．由题意cosπ3＝sin(2×π3＋φ)，即sin(2π3＋φ)＝12，2π3＋φ＝kπ＋(－1)k·π6，(k∈Z)，因为0≤φπ，所以φ＝π6.答案：π6三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．比较下列各组数的大小(1)cos32，sin110，－cos74；(2)cossin3π7，coscos3π7.解：(1)∵sin110＝cosπ2－110≈cos1.47，－cos74＝cosπ－74≈cos1.39，cos32＝cos1.5，又01.391.471.5π，y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴cos1.5cos1.47cos1.39.即cos32sin110－cos74；(2)∵cos3π7＝sinπ2－3π7＝sinπ14，而0π143π7π2，y＝sinx在0，π2上是增函数，∴0sinπ14sin3π71π2，y＝cosx在0，π2上是减函数，∴cossinπ14cossin3π7.即coscos3π7cossin3π7.11．求当函数y＝sin2x＋acosx－12a－32的最大值为1时，a的值．解：y＝1－cos2x＋acosx－12a－32＝－cos2x＋acosx－12a－12＝－(cosx－a2)2＋a24－12a－12设cosx＝t，∵－1≤cosx≤1，∴－1≤t≤1.∴求函数y＝－(cosx－a2)2＋a24－12a－12的最大值为1时a的值，等价于求闭区间上的二次函数y＝－(t－a2)2＋a24－12a－12(－1≤t≤1)的最大值为1时a的值．(1)当a2－1，即a－2时，t＝－1时，y有最大值为－32a－32，由题设可知－32a－32＝1，∴a＝－53－2(舍去)．(2)当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，t＝a2时，y有最大值为a24－a2－12，由题设可知a24－a2－12＝1，解得a＝1－7，或a＝1＋7(舍去)．(3)当a21，即a2时，t＝1时，y有最大值为a2－32，由题设可知a2－32＝1，∴a＝5.综上可得a＝1－7或a＝5.12．已知函数f(x)＝2cos(π3－2x)．(1)若f(x)＝1，x∈－π6，π4，求x的值；(2)求f(x)的单调增区间．解：(1)根据题意cos(π3－2x)＝12，因为π3－2x＝2kπ±π3(k∈Z)，而x∈－π6，π4，故x＝0.(2)令2nπ≤π3－2x≤2nπ＋π(其中n∈Z)，解得－nπ－π3≤x≤－nπ＋π6(其中n∈Z)，即kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，从而f(x)的单调增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)．