二项式定理测试题及答案

二项式定理测试题及答案1.有多少个整数n能使(n+i)4成为整数（B）A.0B.1C.2D.32.82x展开式中不含．．4x项的系数的和为（B）A.-1B.0C.1D.23．若S=123100123100AAAA，则S的个位数字是（C）A0B3C5D84．已知（x－xa）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（C）A.28B.38C.1或38D.1或285．在3100(25)的展开式中，有理项的个数是（D）Ａ．15个Ｂ．33个Ｃ．17个Ｄ．16个6.在2431xx的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（C）A．3项B．4项C．5项D．6项7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是（C）A、－5B、5C、10D、－108．35)1()1(xx的展开式中3x的系数为（A）A．6B．-6C．9D．-99．若x=21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B）A.第一项B.第三项C.第六项D.第八项10.二项式431(2)3nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（A）A．7B．12C．14D．511.设函数,)21()(10xxf则导函数)(xf的展开式2x项的系数为（Ｃ）A．1440B．-1440C．-2880D．288012．在51(1)xx的展开式中，常数项为（B）（A）51（B）－51（C）－11（D）1113．若32(1)1()nnxxaxbxnN，且:3:1ab，则n的值为（Ｃ）Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．1214．若多项式102xx=10109910)1()1()1(xaxaxaa，则9a（）（A）9（B）10（C）9（D）10解：根据左边x10的系数为1,易知110a，左边x9的系数为0,右边x9的系数为0109910109aCaa,∴109a故选D。15．若x(1+x)n的展开式中的每项的系数都用这一项的x的指数去除，则得到的新系数和等于（A）A.(2n+1-1)／(n+1)B.(2n-1)／(n+1)C.(2n-1+n-2)/(n+1)D.(n·2n+1)/(n+1)16．设a、b、m为整数（m0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为a≡b(modm).已知a=1+C120+C220·2+C320·22+…+C2020·219，b≡a(mod10)，则b的值可以是（B）A.2015B.2011C.2008D.200617.若二项式6)sin(xx展开式的常数项为20，则值为（B）A.)(22ZkkB.)(22zkkC.2D.218．5310被8除的余数是（A）A、1B、2C、3D、719已知ix2，设444334224141xCxCxCxCM，则M的值为（B）A4B-4iC4iD20.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是………………………（C）A.1.23B.1.24C.1.33D.1.4421.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)的展开式中，x的系数是…………………（B）A.1nnCB.2nCC.21nCD.21nC二．填空题20、已知324735xxxAC,则x=_____11_____________21、（x-1）（x+2）（x-5）（x+7）（x-10）中x4的系数为_____-7__________22.若对任意实数yx,都有3232324150522222yyxayyxayyxayxayx55442yayyxa，则543210aaaaaa-243.23设a为sin3cosxxxR的最大值，则二项式61()axx展开式中含2x项的系数是-19224已知等式141422104232)21()1(xaxaxaaxxx成立，则321aaa1413aa的值等于0.25、2006)2(x的二项展开式中，含x的奇次幂的所有项的和为S，当2x时，S等于26设二项式nxx)13(3的展开式的各项系数之和为P，所有二项式系数之和为S，若P+S=272，则n=.三．解答题27、某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）解：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有1025C种，设素菜为x种，则200252CCx解得7x，28、已知nxx223)(的展开式的二项式系数和比nx)13(的展开式的系数和大992,求nxx2)12(的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：（1）n=5，—8064(2)—15360x4解：由题意992222nn,解得5n。①10)12(xx的展开式中第6项的二项式系数最大,即8064)1()2(55510156xxCTT.②设第1r项的系数的绝对值最大,则rrrrrrrrxCxxCT2101010101012)1()1()2(∴110110101011011010102222rrrrrrrrCCCC,得110101101022rrrrCCCC,即rrrr10)1(2211∴31138r,∴3r,故系数的绝对值最大的是第4项.29、(12分)在二项式3n31(x)2x的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求展开式的常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中各项的系数和。解:展开式的通项为3r2nrnr1rxC)21(T，r=0，1，2，…，n由已知：2n21n0n0C)21(,C)21(,C)21(成等差数列，∴2n1nC411C212∴n=8（1）835T5（2）5T二项式系数最大（3）令x=1，各项系数和为256130.已知nxx)21(4的展开式前三项中的x的系数成等差数列.（1）求展开式中所有的x的有理项；（2）求展开式中系数最大的项.解：（1）展开式前三项的系数分别为)1(81)21(,221,12221nnCnCCnnn.由题设可知：)1(81122nnn解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）.当ｎ＝8时，rrrrxxCT)2()(4881＝rrrxC43482.据题意，4－r43必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8，∴r＝0,4，8.故x的有理项为：41xT，xT8355，292561xT.（2）设第r＋1项的系数1rt最大，显然1rt＞0，故有rrtt1≥1且12rrtt≤1.∵rrtt1＝rrCCrrrr29221188，由rr29≥1，得r≤3.∵12rrtt＝rrCCrrrr8)1(2228118，由rr8)1(2≤1，得r≥2.∴r＝2或r＝3，所求项分别为2537xT和4747xT.31、(12分)已知nm,是正整数，nmxxxf)1()1()(的展开式中x的系数为7，（1）试求)(xf中的2x的系数的最小值；9（2）对于使)(xf的2x的系数为最小的nm,，求出此时3x的系数；5（3）对于使)(xf的2x的系数为最小的nm,，求此时)003.0(f的近似值（精确到0.01）；2.0232、已知(x3+21x)n展开式中有第六项的二项式系数最大，求：(1)展开式中不含x项；(2)C0n-21C1n+41C2n-81C3n+…+(-1)n·n21Cnn的值.答案.(1)210，(2)1024133．在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba的最值.解：（1）设T1r=Cr12（axm）12－r·（bxn）r=Cr12a12－rbrxm（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项.（2）∵第5项又是系数最大的项，C412a8b4≥C312a9b3①C412a8b4≥C512a7b5②由①得2349101112a8b4≥23101112a9b3，∵a＞0，b＞0，∴49b≥a，即ba≤49.由②得ba≥58，∴58≤ba≤49.故ba的最大值、最小值分别为49、58.35．已知1122122221()nnnnnnnnSCCCnN，求证：当n为偶数时，41nSn能被64整除．证明：(21)3nnnS，∵n为偶数，设2()nkkN，02132241981(81)81(88)8kkkkknkkkSnkkCCC∴·，()当1k时，9810kk，显然41nSn能被64整除；当2k≥时，()式能被64整除．n∴为偶数时，41nSn能被64整除．例4.已知二项式nxx)2(2，（n∈N*）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，∴有∴110)2()2(2244CCnn，解得n=8令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1(2)展开式中第r项,第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为rnrC218,rrC28,1182rrC,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：rnrC218≤rrC28并且1182rrC≤rrC28，解得5≤r≤6；所以系数最大的项为T7=1792111x；二项式系数最大的项为T5=112061x