高考平面向量公式(教师)

-1-第七辑平面向量专题一，基本概念1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。2，向量的表示：几何表示为有向线段（如图）；字母表示为a或者AB。3，向量的大小：即是向量的长度（或称模），记作a或者AB。4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为0，零向量方向是任意的。5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用e、i来表示。1e，1i6，平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。若a平行于b，则表示为a∥b。7，相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。若a与b相等，记为a=b8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。若a与b是相反向量，则表示为a=b；向量BAAB二，几何运算1，向量加法：（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示，ACBCAB（3）两个向量和仍是一个向量；（4）向量加法满足交换律、结合律：abba，)()(cbacba（5）加法几种情况（加法不等式）：bababababababa2，减法：（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图CBACAB（2）两向量差依旧是一个向量；（3）减法本质是加法的逆运算：CBCAABCBACAB3，加法、减法联系：（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，ACADAB，DBADAB（2）若有ADABADAB，则四边形ABCD为矩形BAaCBAbabababaCBAabababbaCBAD-2-4，实数与向量的积：（1）实数与向量a的积依然是个向量，记作a，它的长度与方向判断如下：当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，0a；当0a时，0a；aa（2）实数与向量相乘满足：aa)()(aaa)(baba)(5，向量共线：（1）向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数，使得ab（2）如图，平面内CBA,,三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数qnm,,，使得0OCnOBmOAq，且0qnm，反之也成立。（3）ACAB，则OCOAOB)1(（证明略）6，向量的数量积（1）数量积公式：babababacoscos（2）向量夹角：同起点两向量所夹的角，范围是00180,0（3）零向量与任一向量的数量积为0，即00a（4）数量积与夹角关系：bababa000090009000180900180baba0baba0bababa0baba（5）投影：ababcos称为b在a的方向上的投影；bbaacos成为a在b的方向上的投影（6）重要结论：直角三角形ABC中，2ABABAC（7）向量数量积的运算律：22aaeaa（向量e为与a方向相同的单位向量）abba)()()(bababacba)(cbca2222)(bbaaba2222)(bbaaba22)()(bababaOCBAbababababaCBA-3-三，坐标运算1，平面向量基本定理：如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数,，使得21eea，我们把不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（证明略）2，坐标定义：如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底。任作一个向量a，由向量的基本定理可知，有且只有一对实数，使得：jyixa，我们把),(yx叫做向量的（直角）坐标，记作),(yxa，其中x、y分别为向量的横纵坐标。这个式子叫做向量的坐标表示。3，如图，已知点),(11yxA，),(22yxB，由向量的坐标定义可知，),(11yxOA，),(22yxOB，),(1212yyxxOAOBAB由此可知，一个向量的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标，即，),(1212yyxxAB4，向量的加减乘坐标运算：已知),(11yxa，),(22yxb（1）加、减、乘：),(2121yyxxba),(2121yyxxba2121yyxxba（2）实数与向量乘积的坐标运算：),(11yxa（3）向量模（大小）的坐标形式：22222121,yxbyxa（4）ba,夹角余弦值222221212121cosyxyxyyxx5，向量间关系的坐标形式，已知),(11yxa，),(22yxb（1）)0(,//bba的充要条件是，01221yxyx（2）若,ba则有0ba，即02121yyxx6，柯西不等式的向量形式设向量),(),,(dcnbam，则有bdacnm，2222dcbanm，因为nmnm，所以有柯西不等式的向量形式：2222dcbabdac，化简得：))(()(22222dcbabdacji0yx),(yxajyixy0xBA