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二次函数一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与a、b、c、△的正负关系一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与a、b、c、△的正负关系一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与a、b、c、△的正负关系y=ax2+bx+cy=a(x+)2+b2a4ac-b24a对称轴：x=–顶点坐标：（–，）b2a4ac-b24ab2a一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与a、b、c、△的正负关系解析式使用范围一般式已知任意三个点顶点式已知顶点（-m,k)及另一点两根式已知与x轴的两个交点及另一个点y=ax2+bx+cy=a(x-x1)(x-x2)y=a(x+m)2+kc0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：a0a0a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：y(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:x(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：•(0,c)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：y(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:x(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：•(0,0)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•(0,c)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0x=-b2aa0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0x=-b2aa0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0••a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•例1、已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？2213•例1、已知二次函数y=—x2+x-—•（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。•（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。•（3）画出函数图象的示意图。•（4）求ΔMAB的周长及面积。•（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？•（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1223解:（1）∵a=—0∴抛物线的开口向上∵y=—(x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）222111例1、已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？解：(2)由x=0，得y=--—抛物线与y轴的交点C（0，--—）由y=0，得—x2+x-—=0x1=-3x2=1与x轴交点A（-3，0）B（1，0）22222211333例1、已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？解0x(3)④连线②确定顶点•(-1,-2)••(0,-–)③确定与坐标轴的交点及对称点••(-3,0)(1,0)32①画对称轴2213例1、已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？0•M(-1,-2)••C(0,-–)••A(-3,0)B(1,0)32xD解：（4）由对称性可知MA=MB=√22+22=2√2AB=|x1-x2|=4∴ΔMAB的周长=2MA+AB=2√2×2+4=4√2+4ΔMAB的面积=—AB×MD=—×4×2=41212y2213例1、已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？解解0x••(0,-–)••(-3,0)(1,0)32:(5)•(-1,-2)当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2当x≤-1时，y随x的增大而减小;2213•例1、已知二次函数y=—x2+x-—•（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。•（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。•（3）画出函数图象的示意图。•（4）求ΔMAB的周长及面积。•（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？•（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？解：0•(-1,-2)••(0,-–)••(-3,0)(1,0)32x由图象可知当x-3或x1时，y0当-3x1时，y0返回2213巩固练习（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。（2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________（3）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m=____。（—，-—）12524x=—12（0，0）（2，0）x12２１归纳小结：（1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函数值y的取值范围（2）a，b，c，Δ的正负与图象的位置关系注意：图象与轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）时AB=|x2-x1|=√(x1+x2)2+4x1x2=——这一结论及推导过程。√Δ|a|能力训练二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是____________1-10xy返回①abc0②a+b+c0③a+cb④2a+b=0⑤Δ=b-4ac0３个